В12. Прямая на плоскости (плоскость) как линия (поверхность) первого порядка. Геометрический смысл коэффициентов общего ур-я прямой на плоскости (плоскости) в ДПСК.

В1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их св-ва.

Вектором наз направл отрезок или упорядоч пара точек пространства,плоскости,прямой. ( или )

Длиной(модулем,абсолют величиной вект) наз расстояние между началом и концом. | |=0

Ненулевые векторы и наз коллинеарными || , если они лежат на одной или параллельных прямых. Коллинеар в-ры наз сонаправленными, если их концы лежат по одну сторону от точки. Антинаправленными – если их концы лежат по разные стороны от точки.

Два ненулевых вектора a и b наз равными , если :

1. | |=| |

2. ||

3. сонаправлен

Свободным вектором наз любой представитель из равных между собой геометр векторов

Суммой векторов + наз вектор , соединяющий начало вектора с концом вект .

Разностью - векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .

Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»

Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1) ,

2) при и при .

Очевидно, что при α=0 .

Вектор противоположен вектору , если в сумме они дают . , + =

Свойства линейных операций:

1) + = +

2) +( + )= ( + )+

3) + =

4) для любого сущ : + =

5) α( + )= +

6) (α+β) = +

7) ) = )

8) 1 =

Пусть и || тогда сущ единственный α :

# 1) ,α=0 2) ,

a) Сущ сонапр , α = | |/| | > 0 , сонапр α сонапр , | α |= |α|| |=| |

б) Сущ антинапр , α = -| |/| | < 0 , антинапр α сонапр , | α |= |α|| |=| |. #

В2. Линейная зависимость и Линейная независимость векторов. Достаточные условия линейной зависимости. Критерий линейной зависимости.

В3. Теоремы о линейной зависимости 2-х, 3-х, 4-х векторов.

В4. Определение базиса на плоскости и в пространстве. Теорема о единственности разложения вектора по базису.Координаты вектора и их св-ва. Теоремы о базисе в пространстве , на прямой , на плоскости.

В5. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Св-ва проекции вектора на ось.

В6. Скалярное произведение векторов, его св-ва, выражение через координаты перемножаемых векторов. Условие ортогональности двух векторов.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

В7. Векторное произведение векторов,его св-ва, выражение через координаты перемножаемых векторов. Условие коллинеарности двух векторов.

Теорема. Если 2 вектора а и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={X1,Y1,Z1} , b={X2,Y2,Z2} , то векторное произведение этих векторов имеет вид [ab]={Y1Z2-Y2Z1,Z1X2-Z2X1,X1Y2-X2Y1} или [ab]= .

Составим из тройки базисных веторов i,j,k все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны,образают правую тройку и имеют единичную длину.

[ii] = 0 [ji] = -k [ki] = j

[ij] = k [jj] = 0 [kj] = -i

[ik] = -j [jk] = i [kk] = 0

[ab]=X1X2[ii]+X1Y2[ij]+X1Z2[ik]+Y1X2[ji]+Y1Y2[jj]+Y1Z2[jk]+Z1X2[ki]+Z1Y2[kj]+Z1Z2[kk]

[ab]=(Y1Z2-Y2Z1)i+(Z1X2-Z2X1)j+(X1Y2-X2Y1)k

#Следстиве. Если 2 ветора коллинеарны, то их координаты пропорциональны(x1/x2=y1/y2=z1/z2)

Условие коллинеарности двух векторов.

Если ненулевые векторы =( , , ) и =( , , ) коллинеарны, то по определению векторного произведения = , что равносильно равенству =

В8. Смешанное произведение, его св-ва, выражение через координаты перемножаемых векторов. Условие компланарности 3 векторов.

Теорема. Если 3 вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={X1,Y1,Z1} , b={X2,Y2,Z2} , c={X3,Y3,Z3} , то смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е. [abc]= .

Т.к. смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и с , получим

abc = X3(Y1Z2-Y2Z1)+Y3(Z1X2-Z2X1)+Z3(X1Y2-X2Y1) или abc = X3 -Y3 +Z3

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности 3 векторов a,b и с является равенство нулю определителя. = 0.

В9. Афинные и декартовы системы координат на плоскости и в пространстве, координаты точки. Преобразования декартовых прямоугольных на плоскости.

В10. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка линии при переходе от одной ДПСК к другой.

При переходе от одной ДПСК к другой порядок поверхности не меняется.

В11. Ур-е прямой на плоскости и плоскости в пространстве, проходящих через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

В12. Прямая на плоскости (плоскость) как линия (поверхность) первого порядка. Геометрический смысл коэффициентов общего ур-я прямой на плоскости (плоскости) в ДПСК.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: