Критерий согласия Хи-квадрат Пирсона

Проверка статистических гипотез о виде распределения.

Объектом статистического анализа являются результаты случайной величины Х, вид распределения которой известен.

Например, если имеются данные о росте новобранцев в возрасте 20 лет, то опыт обработки такого рода данных дает основание утверждать, что наблюдаемая случайная величина Х имеет нормальное распределение N( m, σ²).

Задача состоит в нахождении приближенных значений-параметров распределения m и σ²

по выборке.

Аналогично, ставится задача об оценке параметров других распределений.

Основные результаты сложившейся к настоящему времени классической теории математической статистики получены для методов, использующих выборки из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. Для понимания методов математической статистики достаточно знания определений и свойств распределения χ², Стьюдента и Фишера.

Распределение Стьюдента является частным случаем нормального распределения и применяется для малых выборок.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Критерии согласия

При получении той или иной выборки встречаются случаи, когда закон распределения заранее не известен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его вид А). Для оценки величины генеральных параметров по выборочным показателям в биологии используется нулевая гипотеза.

Но - генеральная совокупность paспределена по закону А.

Критерий согласия - это критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Простая гипотеза прямо указывает некий закон вероятностей, по которому возникли выборочные значения. Сложная гипотеза указывает семейство распределений.

С помощью критерия согласия мы проверяем, согласуются эмпирические данные с нашим гипотетическим предположением относительно теоретической функции распределения или нет.

Па­раметрические критерии применимы лишь в тех случаях, когда генеральная совокупность, из которой взята выборка, распреде­ляется нормально. Критерии Стьюдента и Фишера связаны с определенными формами нормального распределения и поэтому являются параметрическими.

Непараметрические критерии применимы к распределениям самых различных форм. Последние имеют определенные преимущества по сравне­нию с параметрическими, благодаря меньшим требованиям к их применению, большему диапазону возможностей и, часто, большей простоте реализации. Конечно, нужно считаться и с часто более низкой точностью этих критериев по сравнению с парамет­рическими. Примером непараметрических критериев является критерий λ(лямбда), предложенный А.Н.Колмогоровым и Н.В. Смирновым.

Т –критерий Стьюдента

Критерием оценки параметров генеральной совокупности по величине выборочных показателей служит стандартная величина нормированного отклонения (t_st), с которым сравнивается фактическое значение этого критерия (t_ф).

В отношении генеральной средней М этот критерий выражается следующими аналитическими отношениями:

или

При t_ф<t_st нулевая гипотеза сохраняется.

Если же t_ф>t_st нулевую гипотезу следует отвергнуть.

Алгоритм применения -критерия Стьюдента для сравнения оценки средних величин двух выборок

1. Записать вариационный ряд результатов экспериментальной группы.
2. Записать вариационный ряд результатов контрольной группы.
3. Найти выборочные средние двух выборок и .
4. Найти выборочные дисперсии и .
5. Вычислить эмпирическое значение критической статистики

Определить по таблице критическое значение для соответствующего уровня значимости и данного числа степеней свободы .

Если , то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

Для малых выборок оценку генеральных параметров удобно проводить с помощью критерия Фишера.

Критерий F функционально связан с вероятностью, он имеет непрерывную функцию распределения и зависит только от чисел степеней свободы:

k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1.

Он полностью определяется выборочными дисперсиями и не зависит от генеральных параметров.

Если F_экс<F_кр , нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений.

Если F_экс>F_кр , нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей.

Критерий согласия Хи-квадрат Пирсона

Пусть дан ряд из nизмерений.

Важно установить, можно ли описать эти n значений с помощью принятой теоретической модели. Наиболее часто используют модель нормального (Гауссова) распределения или распределения Пуассона.

Для проверки выдвигают нулевую гипотезу –

Но: «между эмпирическим распределением и теоретической моделью нет никакого различия».

Из п значений (п>50) оценивают среднее и стандартное отклонение s, а затем разбивают п значений на т = классов.

Для каждого полученного класса определяют абсолютную частоту h попавших в него значений и сопоставляют ее с теоретической частотой h_t.

Из эмпирических и теоретических частот составляют выражение:

Найденное выражение будет следовать ХИ- квадрат распределению с m-k степенями свободы. Где m – количество классов, а к представляет число параметров, необходимых для описания выборки. Для нормального распределения к=3( среднее, стандартное отклонение и объем выборки), для распределения Пуассона к=2 ( среднее и объем выборки). Исходя из уровня значимости α и числа степеней свободы находим критическую точку.

Если при проверке получается, что , то проверяемая гипотеза отбрасывается; межу эмперическим и теоретическим распределением существует значимое различие. Различие не значимо, если .

Условием использования критерия «ХИ- квадрат» является достаточно

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: