Задача Марковица. Эффективная граница.

Портфельная модель Марковица представляет собой подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин. Данная методика формирования портфелей направлена на оптимальный выбор активов для покупки с учетом установленного критерия риск/доходность. Данная теория была разработана еще в 50-х гг. прошлого века, однако до сих пор она является основой портфельного моделирования в мире.

Суть данной модели портфеля в том, чтобы минимизировать возможные риски просадки депозита. Для этого рассчитывается оптимизация портфеля активов с вектором доходности и ковариационной матрицей. Главная особенность теории Марковица является предложенная им теоретико-вероятностная формализация понятий риск и доходность. В частности для расчета соотношения риск/доходность используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля в целом определяется как среднее значение распределения доходностей. Ожидаемый риск портфеля представляет собой стандартное отклонение возможных значений доходности от его математического ожидания.

Так же происходит расчет показателей риск/доходностей и для каждого отдельно взятого в портфеле актива. В качестве критерия возможного отклонения доходности обычно берут условие подъема или спада экономики.

Например, предположим, что некая компания «Альфа» стоит по 100 руб. на акцию. Планируется, что в портфеле данный актив будет находиться в течение года. Тогда, доходность ее можно представить как сумму двух компонентов – непосредственно физической доходности (роста стоимости акций) и дивидендной доходности. Предположим, что математическое ожидание (или среднее значение) доходности акций за последние 2 года составило 10%, а дивиденды на одну акцию составляют 4 руб. – в результате, дивидендная доходность составляет 4% годовых. Тогда, ожидаемая доходность акции компании «Альфа» в портфеле составляет 14% годовых и в этом случае разброс вероятностей доходности будет следующим:

Эти значения указывают на то, что с вероятностью 20% акции компании «Альфа» принесут за год общую доходность 42% при условии подъема экономической активности. В условиях спада активности с вероятностью также 20% доходностью акции ожидается отрицательная в пределах -6%. И наконец при нейтральной экономической конъюнктуре будет изначально рассчитанное математическое ожидание доходности 14% с вероятностью 60%. Далее, для расчета общей ожидаемой доходности с учетом всех возможных вероятностей, используется формула:

E(r)=0,42*0,2+0,14*0,6+(-0,06)*0,2

При этом чем больше стандартное отклонение доходности акции, тем больше индекс изменчивости цены на нее. У безрисковых активов (например, казначейских облигаций с фиксированным купоном) стандартное отклонение равно 0.

Далее, из основных принципов формирования портфеля, теория Марковица предполагает диверсификацию портфеля таким образом, чтобы вобрать в него наименее коррелируемые активы с учетом их показателей риск/доходность. Таким образом, снижается общее стандартное отклонение портфеля, соответственно оптимизируется общий индикатор риск/доходность.

Например, обычно управляющие включают в свой портфель акции нефтегазовых компаний и авиакомпаний. Эти компании обратно коррелируемы по одному принципу – цене на нефть. При росте цен на нефть акции авиакомпаний снижаются, акции нефтегазовых компаний, напротив растут. И наоборот – при падении цен на нефть нефтегазовые компании теряют капитализацию, авиакомпании набирают.

Таким образом, портфель Марковица включает в себя два ключевых принципа: оптимальное соотношение риск/доходность и портфель из наименее коррелируемых активов. Благодаря достаточно простой реализации этих принципов, такой портфель вполне способен построить не только профессиональный управляющий в специализированном ПО, но и начинающий инвестор, который только начинает знакомство с подобными инвестициям

Стоит отметить, что кроме теории Марковица, есть еще и портфель другого выдающего американского экономиста – Джеймса Тобина. Его модель оценки активов более известна как CAPM. В следующей статье из серии портфельных инвестиций будет рассмотрена именно эта модель портфеля.

Если повторить решение данной задачи для различных уровней риска, то мы получим целый набор значений ожидаемой доходности оптимального портфеля. Эти данные позволяют построить нам так называемую эффективную границу, или границу Марковца. На рисунке 4 изображен эскиз этой кривой (12 точек) и можно заметить, что минимальный уровень риска нашего портфеля составляет около 21%. При этом ожидаемая доходность составляет порядка 27% годовых. При увеличении уровня риска доходность также возрастает. В таблице 4 представлен итоговый портфель с рассчитанными оптимальными долями, соответствующими минимальному уровню риска – 21%. Также в таблице рассчитана ожидаемая годовая доходность каждой акции, и доходность соответствующей доли в портфеле.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: