Виды дробей. Преобразования.
Учение без принуждения
(Путеводитель в увлекательный мир математики)
Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)
Так как же учить математику?
Этот вопрос интересует многих.
Первым делом нужно ликвидировать пробелы из прошлого. Если вы пропустили (не поняли, принципиально не изучали, и т.д.) какую-нибудь тему, рано или поздно вы обязательно наступите на эти грабли. С классическим результатом... Уж так устроена математика.
Независимо от того, изучаете вы новую тему, или повторяете старую - освойте математические определения и термины! Обратите внимание, я не говорю – «выучите», а говорю «освойте». Это разные вещи. Вы должны понимать, к примеру, что такое знаменатель, дискриминант, или арксинус на простом, даже примитивном уровне. Что это такое, зачем это нужно и как с этим обращаться. Жить станет легче.
Если я вас спрошу, как пользоваться устройством перехода через плотные ограниченные среды, вам будет неуютно отвечать, верно? А если вы понимаете, что это самое устройство - обычная дверь? Правда, как-то веселее.
И, конечно, нужно решать. Если не умеете решать - ничего страшного. Нужно пытаться решать, пробовать. Все когда-то не умели. Но кто пытался и пробовал, пусть и неправильно, с ошибками - тот сейчас умеет решать. А кто не пробовал, не учился - тот так и не научился.
Вот вам три составляющие ответа на вопрос: "Как учить математику?" Ликвидировать пробелы, освоить термины на понятном уровне и осмысленно решать задания.
Если вам математика представляется дебрями каких-то правил, формул, выражений, в которых невозможно ориентироваться, то я вас утешу. Есть там тропы и путеводные звезды! Обживетесь, попривыкнете, еще и любоваться этими дебрями начнете…
Математика школьного курса не решает сложные примеры, так как не умеет. Она хорошо может решить что-нибудь вида 5х = 10, квадратное уравнение через дискриминант, ну и такое же простое из тригонометрии, логарифмов и т.д. И вся мощь математики направлена на упрощение сложных выражений. Именно для этого нужны правила и формулы различных преобразований. Они позволяют записывать исходное выражение в другом, удобном нам виде, не меняя его сущности.
«Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». (А. Пуанкаре)
Например, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32 : 4. Это всё одно и то же число 8! Только записано в самых разных видах. Какой вид выбрать - решать нам! Сообразуясь с заданием и здравым смыслом.
Главной путеводной звездой в математике является умение преобразовывать выражения. Практически любое решение начинается с преобразования исходного выражения. С помощью правил и формул, которых вовсе не такое безумное количество, как вам кажется.
Мы часто говорим «Все формулы работают слева – направо и справа – налево». Скажем, (a + b) почти каждый распишет как a + 2ab + b . Но не каждый (к сожалению) сообразит, что x + 2x + 1 можно записать, как (x + 1) . А вот это надо уметь! Формулы нужно знать в лицо! Уметь опознавать их в зашифрованных хитрыми преподавателями выражениях, выявлять части формул, доводить, при необходимости, до полных.
Преобразования выражений – вещь, поначалу, хлопотная. Требует труда. На стартовом этапе нужно проверять, где можно, правильность преобразования обратным преобразованием. Разложили на множители – перемножьте обратно и приведите подобные. Получилось исходное выражение – ура! Нашли корни уравнения – подставьте в исходное выражение. Посмотрите, что получилось. И так далее.
Итак, я приглашаю вас в удивительный мир математики. А начнём наш путь со знакомства с дробями, так это, пожалуй, самое уязвимое место большинства школьников.
В добрый путь!
Занятие 1.
Виды дробей. Преобразования.
Кто знает дроби, тот силён, тот в математике отважен!
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби, например: , , , .
Иногда вместо горизонтальной черты ставят наклонную черту: 1/2, 3/7, 19/5. Черта, и горизонтальная (винкулиум), и наклонная (солидус) означает одну и ту же операцию: деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо черты вполне можно поставить знак деления - две точки. 1/2 = 1 : 2.
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби 32/8 гораздо приятнее написать число 4. Т.е. 32 просто поделить на 8. 32/8 = 32 : 8 = 4. Я уж не говорю про дробь 4/1, которая тоже равна 4. А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби, например: 0,5; 3,28; 0,543; 23,32.
3. Смешанные числа, например: , , , .
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задаче и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру!
Наиболее универсальны обыкновенные дроби. С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буквы, это ничего не меняет. В том смысле, что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями!
Итак, вперёд! Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби. Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:
.
Понятно, что писать можно дальше. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними мы ещё познакомимся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь: 2/3.
А оно нам надо, все эти превращения? – спросите вы. Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей. Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходиться сокращать не дробь вида 5/10, а дробное рациональное выражение.
Обычно ученик не задумывается над делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
Например, надо упростить выражение: .
Что мы делаем? Зачеркиваем множитель а сверху и степень снизу! Получаем: .
Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на множитель а. Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть букву а в выражении и получить снова . Что будет категорически неверно: непростительная ошибка. Потому что здесь весь числитель на а уже не делится! Эту дробь сократить нельзя.
При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру, 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и, наоборот, без калькулятора! Это важно на ЦТ, правда?
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это нуль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обыкновенную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Например, 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых - не нуль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную.
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обыкновенная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в результате решения получилось 1/2? А ответ нужно записать десятичной…
Вспоминаем основное свойство дроби! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Получим 1/2 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели могут быть разными. Например, дробь 3/16. Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, как в младших классах учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и при делении уголком мы получим 0,3333333... Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную!
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать пятиклассника и спросить у него. Но не всегда пятиклассник окажется рядом... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задаче вы с ужасом увидели число:
Спокойно, без паники рассуждаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем: числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:
Легко? Тогда закрепите успех! Переведите эти смешанные числа , , в обыкновенные дроби. У вас должно получиться 10/3, 23/10 и 21/4.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать. Ну а если написано, к примеру, 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам!
Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... страшные какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Может, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби? 0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. Ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!
Подведём итоги нашего занятия.
1. Дроби бывают трёх видов: обыкновенные, десятичные и смешанные числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем ошибиться при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
А теперь попробуйте применить теорию на практике.
Итак, решаем в режиме экзамена! Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний пример. И только потом смотрим ответы.
Решили? Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Ответы записаны в беспорядке, подальше от соблазна, так сказать...
0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рада за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет... Терпение и труд всё перетрут.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|