Сделай Сам Свою Работу на 5
Главная | Контакты

Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий





 

1. АВСDA1B1C!D1 – параллелепипед. Постройте точки, заданные равенствами , , , , . Представьте вектор несколькими способами в виде а) суммы векторов, заданных построенными точками, б) линейной комбинации векторов, заданных построенными точками.

2. Даны две различные точки А и В. Постройте точки E, C, D, H, K, заданные равенствами . Выразите векторы , , , , , , , , через вектор .

3. ABCD – параллелограмм, = 4 , N = (АD) Ç (BM), , . Выразите векторы , , , , , через векторы и .

4. ABCD – тетраэдр, , , , . Выразите векторы , , , , , , , через векторы , , (здесь О – точка пересечения медиан грани АВС).

5. ABCDEF – правильный шестиугольник, М и К – середины сторон AF и CD соответственно, О –центр шестиугольника, , , , . Найдите матрицу перехода от базиса е = к базису е1 = . Составьте формулы преобразования координат ри переходе от е к е1. Используя «старые» координаты вектора , найдите его новые координаты. Используя «новые» координаты вектора , найдите его «старые» координаты.

6. ABCDA1B1C1D1 – куб с единичным ребром, К – середина диагонали АС, О = (АС) Ç (KD1), , , . Векторы , , - единичные векторы, сонаправленные с векторами , и соответственно. Найдите матрицу перехода от базиса к базису { , , }. Используя «новые» координаты векторов , , , найдите их «старые» координаты.



7. В базисе даны векторы и и . Найдите коэффициенты a, b, g так, чтобы .

8. Найдите коэффициенты a и b так, чтобы векторы и были коллинеарными.

9. Найдите коэффициент a так, чтобы векторы , и были компланарными.

10. В базисе даны векторы и . Найдите , , и , если , , .

11. В базисе даны векторы , Найдите , , и , если , , , .

12. ABCDEF – правильный шестиугольник с единичной стороной, , , . Найдите и ортогональную проекцию вектора на направление вектора . (Дайте векторное решение)

13. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, |АВ| = 2, |ВС| = 4, |АА1| = 5, , , . Найдите и ортогональную проекцию вектора на направление вектора . (Дайте векторное решение)

14. Докажите векторным методом теорему о трёх перпендикулярах.

15. ABCDEF – правильный шестиугольник, . Найдите координаты вершин шестиугольника в системе координат, заданной репером , где О – центр шестиугольника, , . Постройте точки с координатами (2, 1), (-1, 1), (2, -1), (-1,-1).



16. АВСDA1B1C!D1 – параллелепипед. Найдите координаты его вершин в системе координат, заданной репером , где О – центр параллелепипеда, , , . Постройте точки с координатами (-0,5; 0; 0,5), (0; -1; 1), (1; 1; 1).

17. В условиях предыдущей задачи найдите координаты точек М, Р, К, если , , .

18. В условиях задачи 5 заданы две системы аффинных координат реперами и . Запишите формулы преобразования координат. Запишите формулы преобразования координат.

19. В условиях задачи 6 две системы прямоугольных координат заданы реперами и .

20. ABCDEF – правильный шестиугольник, . Постройте точки, заданные координатами М(2; 2), N(-1; 1), P(1,5; -1,5) в системе координат, заданной репером , где О – центр шестиугольника, , . Найдите расстояния между этими точками, и площадь треугольника .

21. В кубе ABCDA1B1C1D1 с единичным ребром точки M, N, P, Q, Т заданы равенствами , , , , , a Î R .

1) Используя только определение векторного произведения, найдите , , .

2) Используя геометрический смысл модуля векторного произведения, найдите , .

3) Введя ортонормированный базис, найдите , .

4) Найдите площадь треугольника MPQ.

22. Упростите выражение .

23. Аффинная система координат задана репером , где , . Тетраэдр задан координатами своих вершин А(2, -3, 4), В(5, 1, 2), С(-3, 2,-3), D(4, -4, 5).

Найдите а) длины рёбер, б) величины плоских углов при вершине В, в) площадь грани АВС, г) объём тетраэдра, д) высоту, опущенную на грань АВС.

24. Векторы , , заданы в ортонормированном базисе. Найдите и , и . Сравните полученные результаты.

25. В параллелограмме ABCD точки М, N, P заданы равенствами , , . Найдите площадь треугольника MNP и длину его высоты, опущенной из вершины М, если , , .



26. Векторы , , заданы в базисе . Найдите , если , , . Определите ориентацию данной тройки векторов.

27. Найдите a и b так, чтобы векторы , и были компланарными.

28. В прямоугольной системе координат заданы координаты вершин тетраэдра А(-1, 5, 2), В(3, 4, -1), С(4, 4, 5), D(3, -2, 8). Найдите объём тетраэдра, площадь грани АВС, длину высоты, опущенной из вершины D. Определите ориентацию тройки векторов , , .

 

29. Заполните таблицу (система координат аффинная).

№ Данные, определяющие прямую   Чертёж Парамет- рические уравнения Канони- ческое уравнение Общее уравнение
  l ' A, l || , A(x0, y0),        
           
       
       
        Px + Qy + D = 0

 

30. Исследуйте взаимное расположение прямых, заданных в аффинной системе координат уравнениями:

1) 5х - 6у + 30 = 0; 2) ; 3) 4) , 5) 3х + 8у + 5 = 0.

31. Найдите уравнения всех сторон и диагоналей параллелограмма, если одна из его сторон лежит на прямой , одной из его вершин является точка А(-1; 1) и точка К(4, 1) – его центр. Система координат аффинная.

32. Составьте уравнения сторон параллелограмма ABCD, зная, что его диагонали пересекаются в точке М(1, 6), а стороны АВ, ВС, CD и DА проходят соответственно через точки Р(3, 0), К(6, 6), Т(5, 9), Н(-5, 4). Система координат аффинная.

33. Прямая р проходит через точку Р(-3, -5) так, что отрезок, высекаемый на ней прямыми 2х + 3у - 15 = 0 и 4х - 5у - 12 = 0, делится точкой Р пополам. Найдите уравнение прямой р. Система координат аффинная.

34. Даны вершины треугольника А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4). Составьте уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Система координат прямоугольная.

35. Найдите точку, симметричную точке М(-2, 9) относительно прямой 2х - 3у + 18 = 0. Система координат прямоугольная.

36. Найдите координаты точки, лежащей на прямой х - 3у + 1 = 0 и равноудалённой от точек (-3, 1) и (5, 4). Система координат прямоугольная.

37. В DАВС известны уравнения стороны АВ: 4х + у - 12 = 0, высоты ВН: 5х - 4у - 15 = 0 и высоты АН: 2х + 2у - 9 = 0. Составьте уравнения двух других сторон и третьей высоты. Система координат прямоугольная.

38. Найдите косинус и тангенс угла между прямыми 2х + 5у - 3 = 0 и 5х + 2у + 6 = 0. Система координат прямоугольная.

39. Даны координаты вершин В(-2, 1) и С(4, 5) в основании равнобедренного треугольника и косинус угла при вершине А: . Найдите координаты вершины А. Система координат прямоугольная.

40. Определите расстояния от точек (1, 0) и (-1, 2) до прямой 3х - у +4 = 0. Система координат прямоугольная.

41. Составьте уравнения прямых, отстоящих от прямой 5х + 12у + 1 = 0 на расстояние 5. Система координат прямоугольная.

42. Составьте уравнения биссектрис углов между прямыми и Система координат прямоугольная.

43. Центр симметрии квадрата находится в точке (-1, 0), уравнение одной из его сторон х + 3у - 5 = 0. Составьте уравнения трёх других его сторон. Система координат прямоугольная.

44. Заполните таблицу (система координат аффинная).

№ Данные, определяющие плоскость   Чертёж Парамет- рические уравнения Уравнение с определи- телем Общее уравнение
П ' М1, М2, М3, М1(2, -4, 0), М2(-7, 3, 5), М3(0, 5, 3).        
       
       
        5х - 3у + 15 = 0
       

 

45. Запишите общие уравнения плоскостей

       

46. Что задают следующие условия в системе аффинных координат?

 

47. Даны уравнения трёх граней параллелепипеда 2х + 3у + 4z - 12 = 0, x + 3y - 6 = 0, z + 5 = 0 и координаты (6, -5, 1) одной из его вершин. Составьте уравнения остальных трёх граней параллелепипеда. Система координат аффинная.

48. Найдите основание перпендикуляра, опущенного из точки (1, 3, 5) на прямую, по которой пересекаются плоскости 2x + y + z - 1 = 0 и 3x + y + 2z - 3 = 0. Система координат прямоугольная.

49. В прямоугольной системе координат заданы координаты вершин тетраэдра А(-1, 5, 2), В(3, 4, -1), С(4, 4, 5), D(3, -2, 8). Найдите длину высоты, опущенной из вершины D. Система координат прямоугольная.

50. Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости 2x + y - 4z + 5 = 0 и отстоящей от точки (1, 2, 0) на расстоянии . Система координат прямоугольная.

51. Что задают в аффинной системе координат следующие системы уравнений?

52. Составьте в АСК общее уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М0 (-5, 4, 1).

53. Исследуйте взаимное расположение прямых, заданных в АСК уравнениями и Если прямые скрещиваются, то найдите уравнения плоскостей, каждая из которых проходит через одну из данных прямых параллельно второй прямой.

54. Найдите в ПДСК а) величину одного из углов между прямыми и , б) расстояние между этими прямыми, в) уравнение их общего перпендикуляра.

55. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (1, -3, 7) перпендикулярно плоскости 2x + y - 4z + 5 = 0. Система координат прямоугольная.

56. Найдите в АСК а) точку пересечения прямой и плоскости 2x + y - 4z + 5 = 0, б) угол между ними, если , , ,

57. Что задают в ПДСК на плоскости следующие уравнения

а) 4х2 + 9у2 - 36 = 0, б) 4х2 + 9у2 + 36 = 0, в) 4х2 - 9у2 - 36 = 0, в) 4х2 - 9у2 + 36 = 0, г) 4х + 9у2 - 36 = 0, д) 4х2 + 9у + 36 = 0,

е) 4х2 + 8х + 9у2 - 18у - 36 = 0, ж) 4х2 + 8х - 9у2 - 18у - 36 = 0, з) 4х + 9у2 + 18у - 36 = 0? Найдите все характеристики этих линий. Сделайте чертежи. Для первой и третьей линии найдите уравнения касательных, параллельных прямой 2х + 3у = 6.

58. В ПДСК составьте каноническое уравнение гиперболы, если

а) уравнения её асимптот у = ± 3х, а уравнения директрис х = ± 4;

б) угол между асимптотами, содержащий ось (ОХ) равен 600, а эксцентриситет равен 3/2.

59. В ПДСК составьте каноническое уравнение эллипса, если а) уравнения его директрис х = ± 4 и малая полуось равна 1,5;

б) он имеет общие фокусы с гиперболой 4х2 - 9у2 - 36 = 0 и его большая полуось равна 6.

60. В ПДСК заданы линии а) 4х2 - 9у2 - 36 = 0, б) 4х2 - 9у2 - 36 = 0, в) у2 = 9х. Составьте уравнения этих линий в «стандартной» системе полярных координат и в той системе полярных координат, полярная ось которой совпадает с осью (ОХ).

61. Какие линии задают в полярной системе координат уравнения

а) , б) , в) ?

Запишите канонические уравнения этих линий.

62. Запишите уравнения цилиндрических поверхностей, каждая из которых задана уравнениями направляющей и координатами вектора, параллельного образующим. Сделайте чертёж. Система координат – прямоугольная.

а) ; б) ; в) .

63. Запишите уравнения конических поверхностей, каждая из которых задана уравнениями направляющей и координатами вершины. Сделайте чертёж. Система координат – прямоугольная.

а) С (-5, 1, 2); б) С (0, 0, 0);

в) С (1, -2, 3).

64. Какие поверхности задают в ПДСК следующие уравнения? Сделайте чертёж. Если поверхность имеет прямолинейные образующие, то найдите их уравнения. Задайте некоторую точку на поверхности и найдите уравнения проходящих через неё прямолинейных образующих.

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) ,

ж) , з) .

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

l. Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора, характеристики вектора.

2. Сложение векторов: определение, свойства.

3. Умножение вектора на действительное число: определение, свойства.

4. Коллинеарные векторы: определение, свойства, необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов (три условия). Базис в пространстве коллинеарных векторов.

5. Компланарные векторы: определение, свойства, необходимые и достаточные условия компланарности трёх векторов (четыре условия). Базис в пространстве компланарных векторов.

6. Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Базис во множестве всех геометрических векторов.

7. Координаты вектора в данном базисе: определение, примеры, свойства. Действия с векторами в координатах. Преобразование координат.

8. Проекция на прямую параллельно данной плоскости: определение, свойства. Векторная проекция вектора, её свойства.

9. Числовая проекция вектора на ось, её свойства.

10. Ортогональная проекция вектора на ось, её свойства.

11. Скалярное произведение упорядоченной пары векторов: определение, свойства, формулы для вычисления. Применение скалярного произведения векторов к решению задач.

12. Векторное произведение упорядоченной пары векторов: определение, свойства, формула для вычисления, геометрический смысл. Применение векторного произведения к решению задач.

13. Двойное векторное произведение векторов.

14. Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов: определение, свойства, формулы для вычисления, геометрический смысл. Применение смешанного произведения к решению задач.

 

 







Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.