Сделай Сам Свою Работу на 5

Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости

Пусть система однородных координат задана с помощью базиса и соответствующий аффинный репер. Пусть l - произвольная собственная прямая на данной плоскости. Пусть на плоскости до расширения она имела уравнение Ах + Ву + С = 0. Используя формулы (*), получим, что однородные координаты всех собственных точек данной прямой будут удовлетворять уравнению , или AX + BY + CZ = 0. Подставив в полученное уравнение координаты несобственной токи этой прямой, получим , т.е координаты несобственной точки тоже удовлетворяют полученному уравнению. Итак, если Ах + Ву + С = 0 аффинное уравнение собственной прямой, то AX + BY + CZ = 0 её уравнение в однородных координатах. Обратно, всякое уравнение вида AX + BY + CZ = 0, где А и В не равны нулю одновременно, является уравнением прямой в однородных координатах. Так как несобственная прямая имеет уравнение Z = 0, то уравнения AX + BY + CZ = 0, где А, В и С не равны нулю одновременно, и только они являются уравнениями рямой в однородных координатах.

Так как уравнения AX + BY + CZ = 0 и aAX + aBY + aCZ = 0 при любом a ¹ 0 задают одну и ту же прямую, то между всеми прямыми расширенной евклидовой плоскости и всеми ненулевыми классами пропорциональных троек [А: В: С] устанавливается взаимнооднознаное соответствие. Следовательно, отношение [А: В: С] вполне определяет прямую на расширенной плоскости и называется её однородными координатами.

Пусть прямая l задана двумя различными точками А (а1: а2.: а3) и В (b1,: b2: b3). Найдём уравнение этой прямой в однородных координатах. Пусть М -произвольная точка и М (X:Y:Z). Если = { а1, а2., а3},

= { b1,, b2, b3} = { X, У, Z}, то ® А, ® В, ® М. Следовательно, М Î l Û , и компланарны Û . Получили уравнение прямой, Рис.91

проходящей через две точки, в однородных координатах. Используем другое необходимое и достаточное условие комланарности трёх векторов. Так как векторы и неколлинеарны, то М Î l Û , где a и b - любые действительные числа. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Здесь a и b любые действительные числа, не равные нулю одновременно.



Пусть М0(X0: Y0: Z0) – произвольная точка и l [U: V: W] – произвольная прямая, проходящая через М0. Очевидно,

l ' M0 Û UX0 + VY0 + WZ0 = 0.

Полученное уравнение называется уравнением точки.

Пусть l1 [U1: V1: W1] и l2 [U2: V2: W2] две различные прямые. Они пересекаются в некоторой точке М0(X0: Y0: Z0). Тогда

Коэффициенты в этих уравнениях не пропорциональны.

l ' M0 Û UX0 + VY0 + WZ0 = 0.

Следовательно, система имеет ненулевое решение. но это возможно тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю. Итак,

l ' M0 Û

Получили уравнение точки, заданной двумя проходящими через неё прямыми. Так как векторы { U1, V1, W1} и { U2, V2, W2} линейно независимы, а вектор {U, V, W} с ними компланарен, то Это параметрические уравнения точки.

Если линия второго порядка задана в аффинной системе координат уравнением а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0, то однородные координаты всех собственных точек этой линии будут удовлетворять уравнению а11Х2 + 2а12ХУ + а22У2 + 2а13XZ + 2а23YZ + а33Z2 = 0. Итак, линия второго порядка в однородных координатах задаётся однородным уравнением второй степени от трёх переменных.

Пример 4. Эллипс, гипербола и парабола заданы в ПДСК каноническими уравнениями. Запишите их уравнения в соответствующих однородных координатах.

а) Пусть эллипс задан уравнением . Переходя к однородным координатам, получим или (*)

б) Пусть гипербола задана уравнением . Переходя к однородным координатам, получим или (**)

в) Пусть парабола задана уравнением у2 = 2рх. Переходя к однородным координатам, получим или У2= 2рXZ. Если сделать преобразование координат X1 = X + Z, Y1 = Y, Z1 = X - Z, то получим уравнение . (***)

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в однородных координатах однотипны, следовательно, это линии одного типа. Если Z = 0 (т.е. точка бесконечно удалённая), то из уравнения (*) Х = У = 0. Точек с такими координатами на расширенной плоскости нет (эллипс не имеет бесконечно удалённых точек). Из уравнения (**) при Z = 0 получим . Следовательно, на гиперболе две бесконечно удалённые точки (a : b : 0) и (-a : b : 0). Но это бесконечно удалённые точки асимптот гиперболы. Из уравнения У2= 2рXZ при Z = 0 получим Y = 0. Следовательно, парабола имеет одну бесконечно удалённую точку (1 : 0 : 0).

 



©2015- 2018 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.