Сделай Сам Свою Работу на 5

Цилиндрические поверхности





Пусть Г – линия и - ненулевой вектор, не параллельный плоскости линии Г (если Г плоская линия).

Определение 36. Цилиндрической поверхностью с направляющей Г и образующими, параллельными вектору , называется множество точек всех возможных прямых, параллельных вектору и пересекающих линию Г.

Основная задача, которую нужно решить: как найти уравнение цилиндрической поверхности, если даны уравнения линии Г и координаты вектора .

Пусть в пространстве введена АСК, и линия Г имеет уравнения (85) Обозначим цилиндрическую поверхность Ц. М Î Ц Û (М Î l, где l || и l Ç Г ¹ Æ). Обозначим l Ç Г = N. Если N(х0, у0, z0), то (*) Если М(х, у, z), то М Î Ц Û х = х0 + mt, у = у0 + nt, z = z0 + рt, где t Î R. Отсюда х0 = х - mt, у0 = у - nt, z0 = z - рt. Подставив х0, у0, z0 в равенства (*), получим уравнения Ц. Рис. 78

(86)

Остаётся из этих уравнений исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения цилиндрической поверхности:

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся уравнениями (85) и образующие параллельны вектору , то для составления уравнения поверхности достаточно в уравнениях (85) заменить х на х - mt, у на у - nt, z на z - рt и из полученных уравнений исключит параметр.



Пример 1.Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если образующие параллельны вектору = {3, 2, -1} и направляющая Г имеет уравнения

Решение. Линия Г – эллипс в плоскости (ХОУ) с полуосями 3 и 2 (рис. 79). В уравнениях линии Г заменяем х на х - 3t, у на у - 2t, z на z + t. Получим Из второго уравнения t = - z. Подставим в первое уравнение. 4(х + 3z)2 + 9(у + 2z)2 = 36. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим 4х2 + 9у2 + 72z2 + 24хz + 36уz - 36 = 0. Это уравнение данной цилиндрической поверхности.   Рис.79

Пример 2. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если направляющей является линия лежащая в плоскости (ХОУ), а образующие параллельны оси (ОZ).

Решение. Вектор, параллельный образующим, есть вектор . Заменяем в уравнениях направляющей х на х - 0•t, т.е. х заменяем на х. Аналогично, у заменяем на у. Но z заменяем на z - t. Получим Из второго уравнения z = t. Это значит, что z может независимо от х и у принимать все возможные действительные значения, а х и у связаны тем же уравнением f(х,у) = 0, что и в уравнении направляющей. Уравнение цилиндрической поверхности в этом случае будет f(х, у) = 0.



Следствие. Уравнения , , у2 = 2рх задают цилиндрические поверхности с направляющими эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Их образующие параллельны оси (ОZ).

Если направляющая цилиндрической поверхности есть линия второго порядка, то поверхность называется цилиндром второго порядка.

Замечание. Обратите внимание на то, что уравнения f(х, у) = 0, f(х, z) = 0, f(у, z) = 0, задают на плоскостях (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ) соответственно некоторые линии. Но в аффинной системе координат в пространстве они задают цилиндры с образующими, параллельными оси (ОZ), (ОУ) и (ОХ) соответственно.

 

Конические поверхности

Определение 37. Конической поверхностью с направляющей Г и вершиной S (S и Г не лежат в одной плоскости) называется множество точек всех возможных прямых, проходящих через S и пересекающих Г.

Коническую поверхность обозначим К. Прямые , на которых лежат все точки К, называются образующими.

Пусть в пространстве зафиксирована система аффинных координат, S(х0, у0, z0), Г: М Î К Û М лежит хотя бы на одной из образующих. Пусть М Î q. Но q является образующей Û она проходит через S и пересекает линию Г. Пусть Г Ç q = N (рис. 80). Но N(х1, у1, z1) Î Г Û (*) Прямая q проходит через две точки, N и S, поэтому, М Î q Û х = х0 + (х1 – х0t, у = у0 + (у1 – у0t, z = z0 + (z1 - z0t, t Î R. Из этих равенств х1 = , у1 = , . Рис. 80

Подставив х1, у1, z1 в систему (*), получим уравнения данной конической поверхности, но эти уравнения содержат параметр t. Для того, чтобы получить общее уравнение К, нужно из полученной системы исключить параметр t.



Получили следующие правила для составления уравнения конической поверхности:

Для составления уравнения поверхности К достаточно в уравнениях направляющей заменить х на , у на , z на и из полученной системы исключить параметр t.

Пример 3.Найдите уравнение конической поверхности с вершиной

S(2, 2, -3), если направляющей является эллипс , z = 0. Решение. В уравнениях эллипса заменим х на , у на , z на . Получим , = 0. Находя из второго уравнения t, получим t = . Подставим найденное значение t в уравнение направляющей (данного эллипса): Рис.81

81х2 +36у2 - 272z2 +108хz - 48уz - 288у - 1752 z - 2340 =0.

Замечание. Если направляющей является линия второго порядка, то полученная поверхность называется конусом второго порядка. Можно показать, что для любого конуса второго порядка можно в качестве направляющей взять эллипс, поэтому конус второго порядка называют эллиптическим конусом.

 

Поверхности вращения

Пусть даны линия Г и прямая р.

Определение 38.Поверхностью, полученной вращением линии Г вокруг оси р, называется множество точек всех возможных окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных р, центры которых лежат на р и которые пересекают линию Г.

Выведем уравнение поверхности вращения в том случае, когда Г и р лежат в одной плоскости (обозначим эту плоскость П). Выберем прямоугольную систему координат, направив ось (ОХ) по оси р, ось (ОУ) – в плоскости П, тогда ось (ОZ) будет перпендикулярна П.

Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ), то в этой плоскости она задаётся некоторым уравнением f(х, у) = 0 (*).

Пусть М(х, у, z) – произвольная точка. Тогда М Î поверхности вращения Û М Î w, где w - окружность, центр С которой лежит на оси (ОХ), её плоскость перпендикулярна оси (ОХ) и радиус равен ½½ (N Î Г). Тогда точка С(х, 0, 0), N(х, у1, 0),½½ = ½у1½, ½МС½= . Следовательно, М Î w Û Û у1 = ± . Так как N Î Г, то f(х, у1) = 0. Подставив Рис. 82

значение у1, получим f(х, ± ) = 0 (87). Это и есть уравнение данной поверхности вращения. Итак, получили следующее правило:

Если линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и ось вращения совпадает с осью (ОХ), то для того, чтобы получить уравнение поверхности вращения, достаточно в уравнении линии Г координату х оставить без изменения, а у заменить на ± .

Пример 4. Написать уравнение поверхности, образованной вращением линии у = logx вокруг оси (ОУ).

Решение. Так как линия Г лежит в плоскости (ХОУ) и осью вращения является ось (ОУ), то в уравнении у = logx нужно у оставить без изменения, а х заменить на . Так как логарифм отрицательного числа не существует, то х заменяем на . Получим уравнение . Рис.83

 

Эллипсоид

Определение 39. Эллипсоидомназывается множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(88)

Из уравнения сразу следуют такие свойства эллипсоида:

· -а £ х £ а, -b £ у £ b, -с £ z £ с. Следовательно, эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда, симметричного относительно координатных плоскостей, длины рёбер которого равны 2а, 2b, 2с;

· Эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму эллипсоида.

Если поверхность задана уравнением, то исследование её формы часто бывает удобно проводить методом сечений. Для этого исследуемую поверхность пересекают различными плоскостями, проще всего координатными и параллельными координатным.

I. Пересечём эллипсоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут (*)

Возможны случаи:

1) -с < h < с. В этом случае система (*) определяет эллипс в плоскости z = h. Полуоси эллипса равны а и b . Наибольшие полуоси получаются при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При h ® ± с полуоси стремятся к нулю, т.е. эллипс стягивается в точку. 2) h = ± с. В каждой из этих плоскостей система (*) определяет точку, т.е. плоскости z = ± с пересекают эллипсоид в одной точке каждая (рис.84). Рис. 84

3) h > с или h < -с. В этом случае система (*) определяет пустое множество точек, т.е. плоскости z = h при указанных h не пересекают эллипсоид.

II. При пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными (ХОZ) и (УОZ) получим аналогичные результаты. Проведите эти исследования самостоятельно.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.