|
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Окружность
Определение 26. Окружностьюс центром С и радиусом а называется множество точек плоскости, удалённых от точки С на расстояние а. Обозначение w = окр(С, а).
Если на плоскости зафиксирована ПДСК и С(х0,у0), то М Î w Û êСМê = а. Если М(х, у), то М Î w Û Û (х – х0)2 + (у – у0)2 = а2. Следовательно, уравнение окружности в ПДСК есть (х – х0)2 + (у – у0)2 = а2.
Если А(х1, у1) Î w, то уравнение касательной к w в точке А можно получить как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ={х1–х0,у1–у0}. Получим уравнение (х1 – х0)×(х – х0) + (у1 – у0)×(у – у0) = а2.
Эллипс
Определение 27. Эллипсомназывается множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 60).
Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2 . Если êF1F2 ê= 2с, то при < с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы > с.
|
Рис. 60
| Поставим задачи:
· Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение эллипса.
· Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства эллипса.
Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F1F2. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F1 к F2 (рис. 61). Выбранная система координат называется канонической системой
координат для эллипса. В этой системе координат F1(-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда
r1 = êF1Мê = , r2 = êF2Мê= .
М Î эллипсу Û r1 + r2 = 2а. Следовательно,
М Î эллипсу Û + = 2а (55)
Уравнение (55) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого уединим один из корней и возведём обе части уравнения в квадрат.
|
Рис. 61
| = 2а - ,
х2 – 2сх + с2 + у2 = 4а2 – 4а + х2 + 2сх + с2 + у2
а = а2 + сх.
Ещё раз возведя в квадрат, получим
а2х2 + 2 а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 + 2 а2сх + с2х2,
(а2 – с2)х2 + а2у2 = а2(а2 – с2).
Так как > с, то можно обозначить а2 – с2 = в2. Последнее уравнение запишется
в2х2 + а2у2 = а2в2. Разделив на = а2в2, получим
(56)
Итак, уравнение (55) преобразовано в уравнение (56). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (55) и (56) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (56), то они удовлетворяют и уравнению (55).
Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (56). Тогда = . Подставив у2 в выражение для r1, получим r1 = = = = = = (Из уравнения (2) следует, что -а £ х £ а . Так как > с, то > 0). Аналогично получим, что r2 = . Следовательно, r1 + r2 = 2 ,но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (55) и (56) эквивалентны. Уравнение (56) называется каноническим уравнением эллипса.
Будем исследовать эллипс, используя уравнение (56). Из него следует:
· , т.е. ;
· эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(- ,0) и А2( , 0);
· , т.е. ;
· эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, - ) и В2(0, );
|
Рис. 62
| · эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А1, А2, В1, В2 (рис. 62);
· эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат;
· в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 63).
· длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2а и 2 соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы
|
Рис.63
| эллипса лежат на его большой оси между вершинами.
Величина e = называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0 < e < 1.
Определение 28. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения , называются директрисами эллипса.
Так как e < 1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 64).
Фокус F1(-с, 0) и директриса , а так же фокус F2(с, 0) и директриса называются соответствующими.
Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.
Доказательство. êF1М ê= = а + eх, êМК1ê= = . Следовательно,
êF1М ê: êМК1ê = e ( рис. 5).
Аналогично, êF2М ê: êМК2ê = e .
(Здесь МК1 и МК2 - перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)
|
Рис. 64
| Определение 29. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.
Теорема 2.В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (56) и точка касания М0(х0, у0), то касательная имеет уравнение
(57).
Доказательство. Если М0(х0, у0) – любая точка эллипса, то = 1 (*). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М0. Тогда уравнения р будут х = х0 + mt, у = у0 + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе , х = х0 + mt, у = у0 + nt.
Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда . Используя (*), получим . Так как t = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению . Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим . Преобразуя это уравнение и используя (*), получим уравнение .
Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при e ® 0 эллипс стремится к окружности, если e ® 1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А1А2).
Доказательство. Так как и , то при постоянном а с уменьшением e уменьшается с, а увеличивается. Если e ® 0, то ® а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если e ® 1, то с ® а, ® 0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А1А2.
Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2 , то будет > с, а2 = 2 – с2 и уравнение эллипса будет такого же вида , но > а.
Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х0, у0), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .
Гипербола
Определение 30. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 50).
Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2 . Если êF1F2 ê= 2с, то из свойств сторон треугольника F1F2М следует, что 2с > 2 , т.е. с > .
При изучении гиперболы нужно решить те же самые задачи, которые мы ставили для эллипса.
|
Рис. 65
| · Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение гиперболы.
· Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства гиперболы.
Для вывода уравнения гиперболы выберем такую же каноническую систему координат, какая была использована для эллипса (рис. 65). В этой системе координат F1(-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = êF1Мê = , r2 = êF2Мê= .
М Î гиперболе Û ú + ú = 2а, или
+ = ± 2а (58)
Уравнение (58) есть уравнение гиперболы. Упрощая его (проведите эти преобразования самостоятельно), получим
, где (59)
Так же как в случае эллипса можно показать, что уравнения (58) и (59) эквивалентны. Уравнение (59) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуя уравнение (59), получаем следующие свойства гиперболы.
· , т.е. х £ - или х ³ . Следовательно, вся гипербола лежит вне полосы, ограниченной прямыми х = ± (рис.51).
· Гипербола пересекает ось (ОХ) в точках А1(- ,0), А2( ,0). Отрезок А1А2 имеет длину 2 и называется действительной осью гиперболы.
|
Рис. 66
|
С осью (ОУ) гипербола не пересекается, но точки В1(0, - ) и В2(0, ) называются мнимыми вершинами гиперболы. Отрезок В1В2 имеет длину 2 и называется мнимой осью гиперболы.
· Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Следовательно, форму гиперболы достаточно исследовать только в первом координатном углу.
Пусть х ³ 0, у ³ 0. Тогда из уравнения (5) получим . Это уравнение той ветви гиперболы, которая лежит в первом координатном углу. Сравним эту ветвь гиперболы с лучом , лежащим в том же углу. При одном и том же значении х будет угип. < улуче, т.е. ветвь гиперболы лежит между осью (ОХ) и лучом (рис. 67). Пусть М и N точки на гиперболе и на луче
соответственно с одной и той же абсциссой.
Итак, точки гиперболы неограниченно приближаются к точкам луча.
Используя симметрию относительно координатных осей, получим, что в остальных координатных углах гипербола неограниченно приближается к прямым (рис. 68).
|
Рис. 67
| Определение 31. Прямые, которые в канонической системе координат задаются уравнениями , называются асимптотами гиперболы.
Величина e = называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, e > 1.
|
Рис. 68
| Определение 32. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называются директрисами гиперболы.
Теорема 4. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Определение 33. Прямая называется касательной к гиперболе, если она имеет с гиперболой одну двукратную точку пересечения. Общая точка гиперболы и её касательной называется точкой касания.
Теорема 5. В любой точке гиперболы существует касательная к ней и только одна. Если гипербола задана уравнением (59) и точка касания М0(х0, у0), то касательная имеет уравнение
.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
Теорема 6. Если действительная ось гиперболы постоянна, то при e ® 1 гипербола стремится к паре лучей на оси (ОХ) с вершинами А1 и А2, если e ® ¥, то гипербола стремится к паре параллельных прямых х = ± а (рис. 69).
Эта теорема доказывается аналогично теореме 3.
| Рис. 69
| Замечание 1. Если при выводе уравнения гиперболы через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2 , то будет а2 = с2 - 2 и уравнение гиперболы запишется (60).
Гиперболы, заданные уравнениями (59) и (60) называются сопряжёнными. Сопряжённые гиперболы имеют они и те же асимптоты (рис. 70). Фокусы гиперболы (60): , . Её эксцентриситет e = , директрисы у = .
|
Рис. 70
| Замечание 2. Если центром гиперболы является точка С(х0, у0) и действительная ось параллельна оси (ОХ), то уравнение гиперболы .
Парабола
Определение 34. Параболойназывается множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалёна от данной точки и от данной прямой (данная точка не лежит на данной прямой).
Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая t – её директрисой.
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось (ОХ) проходила через фокус перпендикулярно директрисе в сторону от директрисы к фокусу. За начало координат возьмём середину отрезка между директрисой и фокусом (рис. 71).
М Î параболе Û úFМú = d(М, t) (*).
Обозначим d(F, t) = р. Тогда F( и прямая t
|
Рис. 71
| будет иметь уравнение х = . Равенство (*) перепишется . Получили уравнение параболы. Так как обе части равенства неотрицательны, то возведение в квадрат даст эквивалентное уравнение
у2 = 2рх (61).
Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. В этом уравнении р > 0. Из уравнения (61) следуют свойства:
· парабола лежит в той полуплоскости с границей (ОУ), в сторону которой направлена ось (ОХ);
· парабола симметрична относительно оси (ОХ);
· при х ® ¥ ½у½ ® ¥;
· парабола проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Начало координат называется вершиной параболы.
|
Рис. 72
| Если М0(х0, у0) Î параболе, то уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид уу0 = р(х + х0).
Теорема 7. Любые две параболы подобны.
Доказательство. Пусть у2 = 2рх и у2 = 2р1х - две параболы. Пусть у = кх – любая прямая, проходящая через начало координат. Пусть эта прямая пересекает параболы в точках М и N. Тогда, если прямая проходит в первом координатном углу, то М(х1, ), N(х2, ). Так как М и N лежат на данной прямой, то у1 = кх1, у2 = кх2. Следовательно, , , ,
|
Рис. 73
| . Отсюда , т.е. параболы подобны с коэффициентом подобия .
Замечание 1. Если вершиной параболы является точка С(х0, у0) и ось параболы параллельна оси (ОХ), то парабола имеет уравнение
(у – у0)2 = 2р(х – х0).
Замечание 2. Если в уравнении (7) р < 0, то парабола располагается в той полуплоскости с границей (ОУ), в которой лежит отрицательная полуось (ОХ). Уравнение х2 = 2ру при любом р задаёт параболу, симметричную относительно оси (ОУ).
Общие свойства эллипса, гиперболы и параболы описывает следующая
Теорема 8. Для любых данных прямой t и точки F (F Ï t) множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до данной точки и до данной прямой есть постоянная величина e, есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|