Расстояние от точки до плоскости

Дано: , П : Ах + Ву + Сz + D = 0, М(х0, у0, z0). Найти расстояние d(M0, П) от точки М0 до плоскости П. Из уравнения плоскости П следует, что вектор перпендикулярен плоскости П. Опустим из точки М0 перпендикуляр NM0 на плоскость П (рис. 51). Пусть N(x1, y1, z1). Тогда Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 (*). Искомое расстояние d(M0, П) = (**)

Рис. 51

Вектор коллинеарен с вектором . Так как , то (***). Отсюда и из равенства (**) следует, что d(M₀, П) = = (****). Итак, задача свелась к нахождению d. Умножим скалярно на обе части равенства (***), получим . Перейдя к координатам и учитывая, что система координат прямоугольная, получим

A(x₀ - x₁) + B(y₀ - y₁) + C(z₀ - z₁) = d(A² + B² + C²).

Так как A² + B² + C² ¹ 0, то . Из равенства (*) следует, что = -D. Итак, . Подставив d в (**), получим

d(M₀, П) = (52)

Задача 18. Дано: , П : 12х + 3у - 4z - 35 = 0.

Найдите уравнения плоскостей, параллельных П и отстоящих от неё на расстоянии 5.

Решение. Обозначим искомые плоскости П₁ и П₂ . Тогда М Î (П₁ È П₂) Û d(M, П) = 5. Используя формулу (52), получим М Î (П₁ È П₂) Û . После упрощения получим . Раскрывая модуль, получим уравнения двух плоскостей:

П₁ : 12х + 3у - 4z - 80 = 0 и П₂ : 12х + 3у - 4z + 10 = 0.

Расстояние от точки до прямой

Дано: , l : , М1(x1, y1, z1). Найти расстояние d (M1, l). Из уравнений прямой l следует, что точка M0 (x0, y0, z0 ) лежит на прямой l и вектор параллелен этой прямой. Искомое расстояние равно высоте параллелограмма,

Рис. 52

построенного на векторах и как на сторонах (рис. 52).

Следовательно,

.

Переписав это равенство в координатах, получим

(53)

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Дано: , l1: , l2 : , l1 и l2 скрещиваются. Найти d (l1, l2). Из уравнений l1 и l2 следует, что M1 (x1, y1, z1) Î l1, M2 (x2, y2, z2)Î l2 и векторы и параллельны

Рис. 53

прямым l₁ и l₂ соответственно. Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , и . Следовательно,

.

Переписав это равенство в координатах, получим

(54)

Задача 19. Дано: , l₁ : l₂ :

Проверьте, что l₁ и l₂ скрещиваются и найдите расстояние между ними.

Решение. Найдём направляющий вектор прямой l₁ и какую-нибудь точку на ней.

, М₁ = {1, 2, 9}. Из уравнений l₂ следует, что М₂ (4, -1, 0) и 1, 3}.

Вычислим . Следовательно, l₁ и l скрещиваются. Найдём . Следовательно,

= и .

3.6.3. Геометрический смысл неравенства Ах + Ву + Сz + D ³ 0 (£ 0, > 0, < 0)

Дано:R = , Ах + Ву + Сz + D ³ 0. Исследовать, какую фигуру задаёт данное неравенство. Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт плоскость. Пусть это плоскость П. Рассмотрим все точки пространства, не лежащие на П. Вектор не параллелен плоскости П. Действительно, если бы был параллелен П, то А×А + В×В + С×С = А2 + В2 + С2= 0. Но это невозможно.

Рис. 54

Рассмотрим множество всех точек пространства, не лежащих на плоскости П. Пусть М – любая из этих точек. Проведём через точку М прямую, параллельную вектору , и пусть она пересекает П в точке N. Векторы и коллинеарны, , следовательно, . (*) Очевидно, l > 0 Û когда точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . И l < 0 Û когда точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей. Перейдём к координатам. Пусть М (х, у, z) и N (х₁, у₁, z₁). Тогда = {x - x₁, y - y₁, z - z₁}. Равенство (*) в координатах перепишется:

x - x₁ = lA, y - y₁ = lB, z - z₁ = lC.

Отсюда x₁ = x - lA, y₁ = y - lB, z₁ = z - lC. Так как N Î П, то Ах₁ + Ву₁ + Сz₁ + D = 0. Следовательно, А(x - lA) + В(y - lB) + С (z - lC) + D = 0. Ах + Ву + Сz + D = l (A² + B² + C²).

Так как A² + B² + C² > 0, то знак Ах + Ву + Сz + D совпадает со знаком l.

Итак, Ах + Ву + Сz + D > 0 Û точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . Ах + Ву + Сz + D > 0 Û точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей.

Неравенства Ах + Ву + Сz + D ³ 0 и Ах + Ву + Сz + D £ 0 определяют замкнутые полуплоскости (их называют просто полуплоскости) с границей П.

Задача 20. Какую фигуру задаёт в аффинной системе координат система ?

Решение. Уравнение x + z - 2 = 0 задаёт плоскость П1, параллельную оси (Оу) и пересекающую оси (Ох) и (Оz) в точках (2, 0, 0) и (0, 0, 2) соответственно. Неравенство задаёт полуплоскость с границей П1, в которой не лежит начало координат (ибо координаты начала координат не удовлетворяют этому неравенству). Уравнение 2x + y - 4 = 0 определяет плоскость П2, параллельную оси (Оz) и пересекающую оси (Ох) и (Оу) в точках (2, 0, 0) и (0, 4, 0). Неравенство

задаёт полуплоскость с границей П₂ , в которой не лежит начало координат. Плоскости П₁ и П₂ пересекаются по прямой АВ. Данная система задаёт пару вертикальных двугранных углов с гранями П₁ и П₂, ни в одном из которых не лежит начало координат.

IV. ОБРАЗЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: