|
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Дано: R = , М0(х0, у0), , , l ' M0, l ^ .
Найти уравнение l.
Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек.
М Î l Û либо , либо Û (*)
Так как , то (*) перепишется
|
Рис. 35
| (24)
Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Переписав уравнение (24) в координатах, получим
А(х - х0) + В(у - у0) = 0 (25)
Поставим обратную задачу:
Дано: R = , l : Ax + By + C = 0 (*).
Доказать: если , то .
Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М0(х0, у0) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах0 + Ву0 + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (*), получим уравнение А(х - х0) + В(у - у0) = 0, эквивалентное уравнению (*), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записать Вектор либо нулевой, либо параллелен l. Так как , то для всех точек М Î l , отличных от М0, имеет место . Отсюда следует, что .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
Дано: R = , М0(х0, у0), l ' М0, (угол j ориентированный).
Найти уравнение l.
Для решения задачи достаточно знать вектор, параллельный данной прямой. Возьмём вектор такой, что и . Очевидно, ½½l. Так как координаты вектора в прямоугольной системе координат равны ортогональным проекциям этого вектора на
|
Рис. 36
| соответствующие оси, то . Используя каноническое уравнение прямой на плоскости (16), получим
l : . (26)
Прямые, не перпендикулярные оси (Ох), называются наклонными. Для таких прямых , следовательно, уравнение (26) можно привести к виду
, где (27)
Если l ^ (Ох), то уравнение (26) можно привести к виду х = х0 (28) Это уравнение вертикальной прямой.
Если l – наклонная прямая и l Ç (Оу) = В, где В(0, в), то уравнение (27) преобразуется к виду
у = к×х + в (29)
Уравнение (29) называют уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении к – тангенс угла наклона прямой к оси (Ох), в – отрезок, отсекаемый прямой на оси (Оу).
Нормальное уравнение прямой
Дано: R = , : , , l ' Р, l ^ .
Найти уравнение l.
М Î l Û пр = р. Отсюда М Î l Û . Так как , , то М Î l Û . Отсюда
|
Рис. 37
| М Î l Û (30)
Уравнение (30) называется нормальное уравнение прямой. В этом уравнении
(cosj)2 + (sinj)2 = 1, свободный член (-р) £ 0.
Очевидно, нормальное уравнение прямой является одним из общих её уравнений. Если прямая задана в аффинной системе координат уравнением Ax + By + C = 0, то все остальные её общие уравнения имеют вид
lAx + lBy + lC = 0, где l ¹ 0 (*).
Следовательно, существует такое l, при котором уравнение (*) будет нормальным уравнением данной прямой. Для этого должны выполняться условия (lА)2 + (lВ)2 = 1, (lС) £ 0. Отсюда и знак перед корнем должен быть противоположен знаку С. (Если С = 0, то знак можно взять любой). Коэффициент называется нормирующим множителем, а уравнение будет нормальным уравнением данной прямой. Говорят, что уравнение Ax + By + C = 0 приведено к нормальному виду.
Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
Дано: R = , l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0.
Найти один из углов .
Замечание. Очевидно, достаточно найти только один из углов.
Решение: Первыйспособ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор параллелен прямой l1 и вектор параллелен прямой l2. Следовательно, один из углов между l1 и l2 равен углу .
|
Рис 38
| Итак, . (31)
(Вывод формулы (31) можно проводить в любой аффинной системе координат). Воспользовавшись тем, что данная система координат прямоугольная, перепишем формулу (31) в координатах. Получим . Окончательно
. (32)
Второй способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор перпендикулярен прямой l1 и вектор перпендикулярен прямой l2. Из свойства углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак,
(33)
|
Рис. 39
| Переписав полученную формулу в координатах, получим
. (32)
Замечание. Формулу (32) можно использовать только в том случае, когда прямые заданы общими уравнениями в прямоугольной системе координат.
Следствие. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда А1А2 + В1В2 = 0 (33).
Задача 12. Дано: R = , , , , l1 : 3х - 4у + 11 = 0, l2 : 5х + у + 8 = 0.
Найти .
Решение. Используем формулу (31). В нашем случае = , . Следовательно,
;
, .
Подставив в формулу (31), получим .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|