Скалярное произведение векторов

Определение 11. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называют число

.

Если хотя бы один из них равен нулевому вектору, то их скалярное произведение считается равным нулю.

Угол между векторами – наименьший угол между ними.

Для скалярного произведения наряду с обозначением используется также .

Геометрические свойства скалярного произведения:

1) (условие перпендикулярности векторов);

2) если , то и .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Если векторы и представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно:

. (6)

Отсюда, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами:

. (7)

Векторное произведение векторов

Определение 12. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трёх условий:

1) если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

2) если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону плоскости векторов и , откуда кратчайший поворот от к кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

3) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведёнными к общему началу векторами , мы видим поворот от к и от него к , совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

По договорённости обычно рассматривают только правые системы координат. Например, тройка базисных векторов прямоугольной декартовой системы координат в является правой.

Определение 13. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом (или ), определяемый следующими тремя условиями:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. ;

2) вектор перпендикулярен плоскости векторов и ;

3) вектор направлен так, что упорядоченная тройка правая.

Из определения следует, что если хотя один из них равен 0 или они коллинеарны, то .

Алгебраические свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Если и - векторы, заданные своими координатами в базисе , то разложение векторного произведения в том же базисе имеет вид:

,

или в символической записи

. (8)

Данный определитель нужно раскладывать по элементам первой строки.

Смешанное произведение векторов

Определение 14. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число , которое обозначается .

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) если объём параллелепипеда, построенного на векторах , то

2) для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно выполнение условия .

Смешанное произведение через координаты векторов в прямоугольном базисе записывается в виде:

. (9)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Известно, что: .

Вычислить: а) , б) , в) .

Решение.

а) По определению скалярного произведения двух векторов:

, т.е. . Таким образом, получили, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины:

При решении б) и в) пользовались алгебраическими свойствами и определением скалярного произведения.

Задача 2. Даны векторы и . Вычислить: а) ;

б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Воспользуемся формулой (6).

;

б) Вычислим сначала координаты векторов и .

;

;

Воспользуемся формулой (6):

;

в) Найдём сначала координаты вектора .

;

;

г) Найдём координаты вектора .

;

По формуле (5) находим:

.

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 3. При каком значении векторы и перпендикулярны?

Решение. Т.к. , то имеем: .

Решаем квадратное уравнение относительно :

Таким образом, мы получили два значения , при которых векторы и будут перпендикулярны.

Задача 4. Найти угол между векторами и , где и -единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Решение. По формуле (7) для определения косинуса угла между двумя векторами будем иметь .

Найдём сначала :

Вычислим теперь длины векторов и :

.

.

Ответ. .

Задача 5. Известно, что .

Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Воспользуемся определением векторного произведения:

;

б) .

С учётом 1-го и 2-го свойства векторного произведения получаем:

.

;

в)

По определению векторного произведения находим:

;

Ответ. а) ; б) ; в) .

Задача 6. Заданы векторы и . Найти координаты векторов: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Т.к. векторы и заданы своими координатами в прямоугольном базисе, то по формуле (8) находим:

Мы получили разложение вектора векторного произведения в прямоугольном базисе или .

б) Вычислим координаты вектора :

.

По формуле (8) находим:

= .

.

Можно было найти координаты вектора другим способом. Если учесть результат, полученный в п. а), то имеем

.

в) Вычислим координаты векторов и :

.

.

По формуле (8) находим:

= .

.

Или, если учитывать результат пункта а):

.

Ответ. а) ; б) ;

в) .

Задача 7. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

Решение. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна длине их векторного произведения, то найдём , а затем вычислим длину полученного вектора.

.

(ед²),

где площадь параллелограмма.

Задача 8. Вычислить площадь треугольника с вершинами , и .

Решение. Площадь треугольника находится по формуле:

.

Поэтому найдём , а затем вычислим длину полученного вектора.

;

;

.

,

(ед²).

Ответ. (ед²).

Задача 9. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах , , .

Решение. Отметим, что объём тетраэдра, построенного на трёх заданных векторах равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения .

,

откуда

(ед³).

Задача 10. В тетраэдре с вершинами в точках , , , вычислить высоту .

Решение. Из курса геометрии известно, что объём тетраэдра находится по формуле:

.

Объём тетраэдра равен . Найдём координаты векторов .

,

,

,

,

откуда

(ед³).

.

;

;

.

.

,

(ед²).

(ед.).

1.3 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Справедливо следующее утверждение: если на плоскости фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат , то всякое уравнение первой степени с двумя переменными и (линейное уравнение) определяет относительно этой системы координат прямую линию.

Уравнение

(10)

с произвольными коэффициентами и таким, что и не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

В курсе аналитической геометрии доказывается, что прямая, определяемая общим уравнением (10), перпендикулярна вектору . Этот вектор называется нормальным вектором прямой (10).

Каноническим уравнением прямой называется уравнение вида

, (11)

или

, (12)

Уравнение (11) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно некоторому вектору , который называется направляющим вектором прямой.

Уравнение (12) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение

, (13)

где угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ордината точки , в которой прямая, не параллельная оси , пересекает эту ось.

Уравнение прямой, не проходящей через начало координат и пересекающей оси координат в точках и , может быть записано в виде (уравнение в отрезках на осях):

. (14)

Если заданы произвольная точка и произвольный вектор , то параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору, имеют вид:

(15)

где .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку , перпендикулярно вектору , имеет вид:

. (16)

Пусть угол от положительного направления оси до луча , проходящего через начало координат, перпендикулярного к прямой и пересекающего эту прямую, а расстояние от начала координат до прямой. Тогда уравнение прямой может быть записано в виде:

. (17)

Уравнение (17) называется нормальным уравнением прямой.

Общее уравнение прямой (10) приводится к виду (17) путём умножения на нормирующий множитель

.

В результате получается

.

Знак нормирующего множителя противоположен знаку в уравнении (10). Если в общем уравнении , то знак выбирается произвольным образом.

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением (10) определяется по формуле:

. (18)

Если две прямые и заданы уравнениями:

то косинус угла между ними определяется по формуле:

. (19)

Условие параллельности прямых и , если известны координаты нормальных векторов и , эквивалентно условию коллинеарности векторов и , заключается в пропорциональности координат этих векторов, то есть имеет вид:

. (20)

Условие перпендикулярности прямых и выражается равенством нулю скалярного произведения . Оно имеет вид:

. (21)

Если известны координаты направляющих векторов и , то условия параллельности и перпендикулярности прямых записываются аналогично условиям (20) и (21) соответственно.

Если прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентом вида (13), то угол между этими прямыми можно определить по формуле:

. (22)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .

Решение. Воспользуемся уравнением (11), тогда уравнение прямой будет иметь вид:

.

Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение. Воспользуемся каноническим уравнением прямой (12):

.

Подставляя вместо и координаты точек и соответственно, получим:

Уравнение прямой можно записать в общем виде:

.

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклонённой к оси под углом 30⁰.

Решение. Так как прямая проходит через начало координат, то в уравнении (13), . Уравнение прямой будет иметь вид . Так как , то окончательно получаем:

.

Задача 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение прямой запишем в виде (16):

.

По условию задачи

.

.

Раскрыв скобки, получим общее уравнение прямой:

.

Задача 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Воспользуемся формулами (15):

,

.

Задача 6. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки 3 и 5.

Решение. Воспользуемся формулой (14). Уравнение прямой в отрезках на осях:

.

Задача 7. Записать уравнение прямой в отрезках на осях.

Решение. Разделим обе части уравнения на (-5):

,

.

Здесь .

Задача 8. Определить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой .

Решение. Данный треугольник – прямоугольный, катеты которого представляют собой отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях. Запишем уравнение в отрезках на осях:

Здесь .

Задача 9. Заданы прямая : и точка . Требуется:

1) вычислить расстояние от точки до прямой ;

2) написать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно заданной прямой ;

3) написать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно заданной прямой .

Решение.

1) Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле (18). По условию задачи имеем, что . Подставляя эти значения в данную формулу, получим:

.

2) Нормальный вектор заданной прямой : . Так как прямая проходит через точку перпендикулярно заданной прямой , то направляющий вектор прямой равен нормальному вектору прямой , т.е. .

Подставляя координаты точки и вектора в уравнение (11), получаем

: ;

;

;

.

3) По условию задачи прямая проходит через точку параллельно заданной прямой , следовательно, прямые и имеют один и тот же вектор нормали, т.е.

.

Подставляя координаты точки и вектора в уравнение 916), получим

: ;

;

;

.

Ответ. 1) ; 2) : ; 3) : .

Задача 10. Установить взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Условия параллельности и перпендикулярности прямых не выполняются.

Вектор нормали первой прямой имеет координаты , второй прямой – .

и .

Следовательно, прямые пересекаются. Точка пересечения принадлежит и первой и второй прямой. Её координаты найдём из системы уравнений:

Отсюда получаем , . Точка пересечения имеет координаты .

Задача 11. Треугольник задан координатами своих вершин: , и . Требуется:

1) Написать уравнение стороны ;

2) Написать уравнение высоты , опущенной из вершины на сторону и вычислить её длину ;

3) Найти угол между высотой и медианой .

Решение.

1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (12):

;

; ;

.

2) Уравнение высоты есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно .

Нормальный вектор прямой , имеющий координаты можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой, так как он будет ей перпендикулярен. Подставляя координаты вектора и точки в уравнение (11), получаем:

: ;

.

Раскрыв скобки, получим уравнение высоты в общем виде:

.

Длина это расстояние от точки до прямой . Вычислим его по формуле (18).

.

3) По определению медианы точка середина отрезка . Её координаты находятся по следующим формулам: . Подставляя координаты точек и , получаем:

.

Таким образом, .

Составим уравнение медианы как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (12).

: ;

;

;

;

.

Чтобы найти угол между высотой и медианой , достаточно найти угол между нормальными векторами этих прямых.

.

Подставим координаты данных векторов в уравнение (7):

.

.

Ответ. 1) : ; 2) : , ;

3) .

Задача 12. Определить положение точки относительно прямой .

Решение. Подставим координаты точки в уравнение прямой :

. Следовательно, пара чисел не является решением уравнения и точка не принадлежит прямой.

Задача 13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой : .

Решение. Прямая задана параметрическими уравнениями. Приведём уравнение прямой сначала к общему виду, а затем к виду (13). По условию задачи , . Подставим данные значения в (11):

;

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: