Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Билет 24

Прямая в пространстве

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

Общее уравнение прямой в пространстве

Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Пусть принадлежит этой прямой. Это значит, что , т.е. - канонические уравнения прямой.

Билет25

Чтобы составит уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , достаточно взять . Тогда - канонические уравнения этой прямой.

Если взять , то система уравнений

называется параметрическими уравнениями прямой.

Билет 26

Прямую можно также задать как множество точек, общих для двух плоскостей системой уравнений вида , где оба уравнения представляют собой уравнения пересекающихся плоскостей. Чтобы перейти от этого вида к каноническому, достаточно найти одну точку, удовлетворяющую этому неравенству и взять её как точку и положить .

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Пусть и - уравнения прямых и . Тогда и - направляющие векторы этих прямых. Поместим на прямую , а начало совместим с началом . На трёх векторах , и построим параллелепипед. Расстояние между прямыми будет равно высоте полученного параллелепипеда: .

Пусть даны канонические уравнения двух прямых и . Если , то , иначе и либо пересекаются, либо скрещиваются. В этом случае достаточно вычислить смешанное произведение направляющих векторов этих прямых и вектора, соединяющего эти прямые. Если оно не равно нулю, то прямые скрещивающиеся, иначе – пересекающиеся.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Записав через координаты, получим

БИЛЕТ 27

Окружность – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной (центра) равны.

или .

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных (полюсов) равны.

. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь , , . Такую систему координат называют канонической. Тогда , . Возьмём любую точку , принадлежащую нашему эллипсу. Тогда Преобразуем это выражение: , , . Сложим теперь его с исходным: , , , , . Обозначив , получим каноническое уравнение эллипса: . Здесь a и b равны соответственно горизонтальной и вертикальной полуосям эллипса. Отсюда уравнение эллипса в явном виде: .

1. Если , то уравнение эллипса представляет собой окружность.

2. Эллипс имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ( ).

3. Эллипс – непрерывная кривая.

4. Ограниченная кривая, , .

5. Гладкая кривая (во всех точках имеет касательную).

6. Уравнение касательной для эллипса: .

7. Верхняя половина эллипса выпукла вверх, нижняя – вниз.

8. и называются фокальными радиусами.

9. - эксцентриситет эллипса, .

10. , .

11. - директрисы эллипса.

Билет 28

Гипербола – геометрическое место точек, абсолютные величины разности расстояний от которых до двух фиксированных (фокусов) равны.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь, так же, как и у эллипса, , т.е. , . Такая система координат называется канонической. Условие гиперболы записывается так: или . Избавившись от иррациональности (см. вывод уравнение эллипса выше), получим: , где . Уравнение гиперболы в явном виде: .

1. Гипербола имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ( ).

2. Гипербола – гладкая кривая.

3. Уравнение касательной для гиперболы: .

4. Гипербола, задающаяся уравнением , называется сопряжённой для исследуемой гиперболы.

5. - асимптоты гиперболы.

6. и - фокальные радиусы.

7. Эксцентриситет гиперболы , .

8. , .

9. - директрисы гиперболы.

Билет 29

Парабола – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной и до фиксированной прямой, называемой директрисой, равны.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь . Такая система координат называется канонической. Тогда условие параболы запишется так: . Избавившись от иррациональности, получим: - каноническое уравнение параболы. Уравнение параболы в явном виде: .