Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны

Критерий компланарности трёх векторов: Для того чтобы векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы .

В самом деле, это означает, что объём параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу, будет равен нулю, а это возможно только когда все три вектора лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. компланарны.

Билет11

Тройно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: двойное векторное произведение) векторов — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и

Двойным векторным произведением векторов , и называют вектор .

.

Свойства. Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,

Билет 12

Прямая на плоскости

Составим уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору .

Запишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой, проходящей через точку . . Обозначив , получим: - общее уравнение прямой, если или .

Ненулевой вектор, перпендикулярной данной прямой называют нормальным вектором прямой.

Приняв и , можно получить уравнение . При этом , где a - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, а b = величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Билет 13

Составим теперь уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно .

Запишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой. Раз , то - каноническое уравнение прямой.

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . В качестве точки возьмём одну из них, а в качестве возьмём . Тогда - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Если мы преобразуем канонические уравнения прямой следующим образом: , то получим - параметрические уравнения прямой.

Угол между прямыми

Это угол, на который нужно повернуть одну прямую до совмещения её с другой прямой.

1. Пусть , . Тогда .

2. Пусть , . Тогда .

3. Пусть , . Тогда .

Билет 14

Полные и неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой называют полным, если , и .

Полное уравнение прямой можно привести к уравнению прямой в отрезках: обозначим , . Тогда . Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Билет 15

Неполные уравнения прямой:

1. – параллельна оси x.

2. – параллельна оси y.

3. – проходит через начало координат.

4. ­– ось x.

5. – ось y.

Билет 16

Нормальное уравнения прямой это уравнение прямой , , где a - угол между нормалью к прямой и осью Ox, причём нормаль направлена из начала координат в сторону прямой и p – расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом:

Вывод нормального уравнения прямой:

Введём сразу две системы координат – полярную и цилиндрическую так, чтобы их начала совпадали, и ось полярной системы совпадала с осью Ox цилиндрической. Тогда выражение справедливо для . Преобразуем это выражение: (Т.к. и ), или .

Нормальное уравнение прямой применяется для вычисления расстояния от данной точки плоскости до прямой. Рассмотрим случай, когда точка и точка O лежат по одну сторону от прямой. Расстояние от то l равно . Рассмотрим нормальное уравнение прямой, параллельной l ( ): , где . Т.к. точка , то – верное равенство, значит, . . Если точка и точка O лежат по одну сторону от прямой l, то расстояние от до l равно . Следовательно, расстояние от до l равно .

Приведём общее уравнение прямой к нормальному виду ( к ). Очевидно, что коэффициенты пропорциональны, т.е. . Тогда и знак m - нормирующий множитель, противоположен знаку C.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Геометрический смысл коэффициентов A B C в обоих случаях - расстояние от нач. координат до точки принадлежащей плоскости (прямой) по осям соответственно Ox Oy & Oz.

Отклонением точки от прямой называется расстояние от этой точки до прямой, взятое со знаком «+», если эта точка и начало координат располагаются по одну сторону от прямой и «–» - если по разные стороны, т.е. отклонение равно .

С помощью нормальных уравнений прямой можно составлять уравнения биссектрис, образованных двумя прямыми:

Пусть - первая прямая, - вторая прямая. Для того чтобы получить одну из биссектрис, необходимо приравнять левые части уравнений:

. Для второй: .

Пусть прямые и заданы общими уравнениями

и

Билет 17

Обозначим через φ величину угла между прямыми и (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами и этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство Из теоремы 11.10 следует, что

и, следовательно,

Записав через координаты, получим

Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и

и

то нормальные векторы этих прямых могут быть и выражение для косинуса угла между этими прямыми будет иметь вид:

Из последнего выражения следует, что если то cos φ = 1 и φ = 0, то есть прямые параллельны или совпадают. С другой стороны, если прямые параллельны, то φ = 0 или cos φ = 1. Подставляя в правую часть вместо cos φ его значение 1, умножая обе части на знаменатель и возводя в квадрат, получим

Отсюда получаем

Если то cos φ = 0 и то есть прямые перпендикулярны. Обратно, если прямые перпендикулярны, то или cos φ = 0. Отсюда следует с необходимостью

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами и формулируются следующим образом.

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. Прямые с направляющими векторами а и b:

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны;

б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы а и b перпендикулярны, т. е. когда а • b = 0.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

Для того чтобы прямые

были параллельны, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие В случае, если какое-либо из чисел b₁, b₂, b₃ равно нулю, то должно обращаться в нуль соответствующее ему число a₁, a₂, a₃. Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.

Билет 18

Плоскость в пространстве

Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору . Пусть - произвольная точка плоскости. То, что M принадлежит плоскости, означает, что . Раскрыв скобки и обозначив , получим - общее уравнение плоскости, если , или . Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости называется нормальным вектором этой плоскости.

Билет 19

Составим теперь уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам и . Возьмём , принадлежащую нашей плоскости. Это значит, что , и компланарны, т.е. - уравнение плоскости, проходящей через данную точки параллельно двум данным векторам.

Для того чтобы провести плоскость через три данные точки , , достаточно взять и . Тогда и есть искомое уравнение плоскости.

Билет 20

Частные случая общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости называется полным, если , , и . Тогда можно получить уравнение плоскости в отрезках: , где , и . Здесь a, b и c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Уравнение в отрезках. Полное уравнение плоскости в пространстве может быть записано в следующем виде:

Полагая а = - D/А, b = - D/B, c = - D/C, получим эквивалентное уравнение

,

называемое уравнением плоскости в отрезках. Числа а, b, с в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат.

Билет 21

Рассмотрим неполные уравнения плоскости:

1. - плоскость параллельна оси Ox.

2. - плоскость параллельна оси Oy.

3. ­ - плоскость параллельна оси Oz.

4. - плоскость проходит через начало координат.

5. - ось Ox принадлежит плоскости.

6. - ось Oy принадлежит плоскости.

7. - ось Oz принадлежит плоскости.

8. - плоскость xOy.

9. - плоскость yOz.

10. - плоскость xOz.

Билет 22

Нормальное уравнение плоскости

Уравнение вида называют нормальным уравнением плоскости, если , а , и ­ - направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат в сторону плоскости.

Чтобы вычислить расстояние l от точки до плоскости, нужно привести уравнение плоскости к нормальному виду и тогда .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак m противоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами, a – угол между прямой и осью , b – между прямой и осью :

,

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

.

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

Билет 23

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Если заданы уравнения плоскостей A₁x+ B₁y+ C₁z+ D₁ = 0 и A₂x+ B₂y+ C₂z+ D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: