|
|
РАНГ СТУПЕНЧАТОЙ МАТРИЦЫ.Вспомним, что матрица вида называется ступенчатой матрицей. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк. Поскольку доказано, что любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду, а элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, то можно дать еще одно эквивалентное определение ранга матицы: ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы. Это последнее определение позволяет вычислять ранг матрицы с помощью Гауссова исключения: для того, чтобы вычислить ранг матрицы, приводим ее Гауссовым исключением к ступенчатому виду и подсчитываем количество ненулевых строк. Ранг матрицы находится: либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. 1) При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Пример:Найти методом окаймления миноров ранг матрицы Решение.Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 = 2) Элементарными называются следующие преобразования матрицы: 1) перестановка двух любых строк (или столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число, 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число. Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Алгоритм нахождения ранга матрицы. Пусть требуется вычислить ранг матрицы Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке. Преобразованная матрица имеет вид Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
.
, отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их всего два (можно
размеров 
. Если матрица 
. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что 
.
. В результате вторая строка принимает вид 
Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число 
. В результате третья строка принимает вид 
. В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что 
. Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число 
. В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число 
, и т.д. В результате получаем матрицу 
, так как минор 
. В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.
-ой , равны нулю (или отсутствуют при 
), а минор в первых 
строках и первых 
.