МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Направление подготовки

210400 Телекоммуникации

210302 Радиотехника

Профиль подготовки

_____________________

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

Ярославль 2010

Аннотация академического курса

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Базовой части профессионального цикла

Для специальности 010700 Физика

Форма обучения очная

Факультет физический

Кафедра общей математики

Курс___1_____ семестр ________1-2______

Общая трудоемкость дисциплины 5 з.е. 180 час.

Лекции _____90_______ (час.)

Практические занятия __90(час.)

Форма контроля экзамены в 1 и 2 семестрах.

Краткое содержание

Дисциплина «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», которая вошла в учебный план подготовки бакалавровпо направлениям подготовки 210400 – «Телекоммуникации», 210302 – «Радиотехника», знакомит студентов с основными понятиями, задачами и методами аналитической геометрии и линейной алгебры, взаимосвязями этих разделов математики с другими математическими и физическими дисциплинами, а также их практическими приложениями.

Содержание курса составляют следующие вопросы:

- векторная алгебра и координатный метод на плоскости и в пространстве;

- прямая линия на плоскости и в пространстве;

- плоскость, прямая и плоскость в пространстве;

- кривые и поверхности второго порядка;

- матрицы и определители;

- системы линейных уравнений;

- линейные пространства; евклидовы и унитарные пространства;

- Линейные операторы в конечномерных пространствах, в том числе евклидовом и унитарном;

- Билинейные и квадратичные формы.

1. Цели освоения дисциплины

Целью дисциплины является ознакомление слушателей с основными понятиями, задачами и методами аналитической геометрии и линейной алгебры, а также их ролью и использованием в других математических и специальных дисциплинах, практическими приложениями.

Изучение дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует формированию научного мировоззрения и математической культуры, способствует развитию абстрактного мышления и пространственного воображения

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Учебный курс «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» для студентов физического факультета относится к циклу естественнонаучных дисциплин и является там базовым. Знания и навыки, полученные при изучении этого курса, находят широкое применение при изучении других дисциплин, например таких как «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Векторный и тензорный анализ», «Механика», «Методы математической физики».

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:

а) общекультурных (ОК):

ОК-5, ОК-6, ОК-8, ОК-11,

б) профессиональных (ПК):

ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-15, ПК-16, ПК-19, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-23, ПК-24, ПК-25, ПК-27, ПК-29.

В результате изучения дисциплины слушатели должны:

Иметь представление

-о функциональных линейных пространствах;

-об евклидовых и неевклидовых пространствах, в частности о псевдоевклидовой плоскости и ее геометрии, о плоскости Лобачевского;

-об изоморфизме линейных пространств и других алгебраических структур;

-о канонической форме матриц самосопряженного и унитарного операторов;

-о группах преобразований Галилея и Лоренца;

Знать

-понятие линейного пространства и примеры линейных пространств;

-определение линейно зависимых и линейно независимых векторов, базиса системы векторов и векторного пространства, координат вектора в данном базисе;

-понятие подпространства, суммы и пересечения подпространств;

-понятие системы линейных уравнений и ее решения, методы решения систем (метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод);

-операции над матрицами;

-определение определителя квадратной матрицы, свойства определителей и методы их вычисления, приложения определителей;

-понятия скалярного, векторного, смешанного произведений векторов, их приложения в геометрии и физике;

-виды систем координат на плоскости и в пространстве;

-все виды уравнений прямой линии на плоскости и в пространстве;

-уравнения плоскости;

-виды кривых второго порядка на евклидовой плоскости и их канонические уравнения;

-виды поверхностей второго порядка и их канонические уравнения;

-понятие линейного оператора и матрицы линейного оператора;

-понятие собственного вектора линейного оператора, инвариантного подпространства, методы приведения матрицы линейного оператора к каноническому виду;

-понятие евклидова пространства и ортогонального базиса в нем, методы построения ортогональных базисов;

-понятие ортогональных подпространств и методы построения ортогональной проекции вектора на заданное подпространство;

-виды линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве (над полем R и над полем C);

-понятия билинейной и квадратичной форм, способы приведения их к каноническому виду;

-понятие группы и значение этого понятия в геометрии и физике;

Уметь

-решать системы линейных уравнений разными способами;

-распознавать линейные пространства среди других алгебраических структур;

-выяснять линейную зависимость и независимость векторов, находить базис и координаты вектора в данном базисе;

-строить сумму и пересечение подпространств;

-производить операции над матрицами: складывать, умножать, умножать на число, находить обратную матрицу;

-считать определители любого порядка наиболее подходящим методом;

- находить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и решать задачи на их применение в геометрии и физике;

-записывать уравнения заданного характеристическим свойством множества в выбранной системе координат и исследовать свойства множества по его уравнению;

-составлять уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве;

-записывать уравнение плоскости по элементам ее определяющим;

-определять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

-составлять уравнения кривых второго порядка по их свойствам и определять вид кривой по заданному уравнению;

-распознавать линейный оператор среди других преобразований, находить матрицу линейного оператора, его ядро и образ;

-находить собственные векторы линейного оператора, приводить его матрицу к каноническому виду;

-строить ортонормированный базис евклидова пространства, находить ортогональные проекции вектора на взаимно ортогональные подпространства;

-приводить квадратичную форму к каноническому виду;

-приводить к каноническому виду общее уравнение поверхности второго порядка;

Иметь навыки

-применения векторного и координатного методов в решении геометрических и физических задач;

-оперирования с матрицами, определителями, системами линейных уравнений, операторами, действующими в аффинных и евклидовых пространствах.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля)

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.

5. Содержание разделов (тем) дисциплин.

Раздел 1. Понятие линейного векторного пространства.

МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

I семестр

1. Понятие вектора в геометрии. Линейные операции над векторами и их свойства. Понятие линейного векторного пространства. Примеры линейных векторных пространств. Пространство .

2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Элементарные преобразования системы. Равносильные системы.

3. Правило Жордана-Гаусса исключения переменной из всех уравнений системы кроме одного. Приведение системы к единичному базису. Решение системы линейных уравнений.

4. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.

5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Примеры.

6. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Линейная зависимость векторов в .

7. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы векторов. Координаты вектора в данном базисе.

8. Ранг системы векторов, его свойства. Размерность векторного пространства.

9. Понятие ранга матрицы. Решение задач по отысканию ранга матрицы.

10. Операции над матрицами, их свойства. Размерность пространства однотипных матриц размера .

11. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.

12. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).

13. Свойства определителей, методы их вычисления.

14. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений ее элементов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

15. Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения в геометрии и физике.

16. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения.

17. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения. Двойное векторное произведение.

18. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Геометрический смысл координат точки в прямоугольной декартовой системе координат.

19. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты.

20. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические уравнения по точке и направляющему вектору, по двум точкам, канонические уравнения.

21. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

22. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору в прямоугольной декартовой системе координат.

23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямойотносительно осей координат.

24. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

25. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, трем точкам, общее уравнение плоскости.

26. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая как пересечение двух плоскостей.

27. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

28. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

29. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.

30. Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.

31. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.

32. Парабола, ее каноническое уравнение и свойства.

33. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.

34. Канонические уравнения поверхности второго порядка и их исследование методом сечений.

35. Конические и цилиндрические поверхности.

Примерные варианты экзаменационных билетов (I семестр)

Билет № 1

1. Понятие вектора в геометрии; основные характеристики вектора, способы его задания, изображение; равные векторы, свойства отношения равенства векторов. Сложение векторов, свойства операции.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

3. Решить матричное уравнение .

4. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р(-3, 13, 7) на прямую и найти его длину.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности

Билет № 2

1. Умножение вектора на число, свойства операции. Коллинеарные векторы, необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Базис системы коллинеарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.

2. Строчечный и столбцовый ранги матрицы, их неизменность при элементарных преобразованиях матрицы.

3. Вычислить определитель

.

4. Составить параметрические уравнения проекции прямой , , на плоскость .

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности

Билет № 3

1. Компланарные векторы, необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Базис системы компланарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.

2. Теорема о совпадении строчечного и столбцового рангов матрицы. Понятие ранга матрицы.

3. Решить систему методом Жордана-Гаусса

4. Точка А(-3, -5) лежит на гиперболе, фокус которой имеет координаты (-2, -3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 4

1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам пространства. Понятие базиса системы векторов пространства и координат вектора в нем. Операции над векторами в координатах.

2. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

3. Вычислить определитель

.

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4, -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из одной вершины.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 5

1.Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Правило Жордана-Гаусса исключения переменой из всех уравнений кроме одного. Приведение системы к единичному базису.

3. Найти какой-нибудь базис системы векторов и небазисные векторы разложить по базисным , , , .

4. Найти ортогональную проекцию точки Р(1, 3, 5) на прямую

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 6

1. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы, определенные и неопределенные. Элементарные преобразования системы и их свойство.

3. Определить, являются ли векторы линейно зависимыми; найти ранг системы векторов , , , , .

4. Найти точку, симметричную точке Р(-13, 4, 6) относительно плоскости, проходящей через прямую , , и точку О(0, 0, 0).

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 7

1.Смешанное произведение трех векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.

2. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.

3. Найти матрицу, обратную для матрицы .

4. Найти точку, симметричную точке Р(1, 3, 5) относительно прямой

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 8.

1. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки относительно системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии в пространстве: вычисление координат вектора по координатам его конца и начала, деление отрезка в данном отношении, координаты центра тяжести системы материальных точек.

2. Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы для квадратной матрицы.

3. Решить систему, используя правило Крамера

4. По данному эксцентриситету определить угол между асимптотами гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 9

1. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты

2. Свойства определителей.

3. Найти все базисы системы векторов: , , , .

4.Найти точку, симметричную точке Р (3, -4, -6) относительно плоскости, проходящей через точки М₁(-6, 1, -5), М₂(7, -2, -1), М₃(10, -7, 1).

5.Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 10

1. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические и канонические по точке и направляющему вектору, по двум точкам.

2. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).

3. Исследовать и решить систему

4. Гипербола имеет асимптоты и директрисы . Написать каноническое уравнение гиперболы.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 11

1. Общее уравнение прямой линии на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

2. Ранг системы векторов, его свойства. Понятие размерности линейного пространства.

3. Решить систему, используя правило Крамера

4. Найти ортогональную проекцию вектора а (14, 2, 5) на прямую

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 12

1. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Уравнение прямой в отрезках.

2. Понятие линейного векторного пространства. Пространство Rⁿ как пример линейного пространства, другие примеры линейных пространств.

3. Чему равен ранг матрицы при различных значениях l:

4. Доказать, что прямые и скрещиваются и найти расстояние между ними.

5. Определить а) вид кривой . б) вид поверхности .

Билет № 13

1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Угол между прямыми, лежащими в плоскости.

2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, примеры. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.

3. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА существуют, причем АВ = ВА, то матрицы А и В квадратные и имеют одинаковый порядок.

4. Доказать, что прямые и параллельны и написать уравнение плоскости, в которой они лежат.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 14

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми.

2. Зависимые и независимые векторы пространства Rⁿ.

3. Доказать утверждение: для того, чтобы квадратная матрица была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была скалярной.

4.Даны вершины треугольника АВС: А(1,-1, 2), В(5, -6, 2), С(1, 3, -1). Написать уравнение плоскости, в которой лежит треугольник, и вычислить длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины В.

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 15

1. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, по трем точкам. Общее уравнение плоскости.

2. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы.

3. Записать систему в матричном виде и решить с помощью обратной матрицы:

4. Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет , фокус F (- 4, 1) и уравнение соответствующей фокусу директрисы .

5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .

Билет № 16

1. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая, как линия пересечение двух плоскостей.

2. Умножение матриц, свойства операции.

3. Пусть система векторов – линейно независима. Является ли линейно независимой система векторов , , .

4. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин В (-4, -5) и уравнения двух его высот и . Найти длину высоты этого треугольника, опущенную из вершины В.

5. Определить а) вид кривой ;

б) вид поверхности .

Билет № 17

1. Взаимное расположение прямой и плоскости; угол между прямой и плоскостью.

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: