Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики

Согласно античной традиции, сам Пи­фагор установил, что две струны издают благо­звучное гармоничное созвучие (консонанс) лишь в случае, когда их длины относятся как целые числа первой четверки: 1 : 2 (октава), 2 : 3 (квинта) и 3 : 4 (кварта). Это открытие было названо законом консонансов.

Закон консонансов впервые облекал в математическую форму физическое явление - звучание струны. Он впервые указы­вал на существование числовых закономерностей в природе и послужил отправной точкой в разви­тии пифагорейской философии. Недаром день, когда Пифагор открыл закон консонансов, немец­кий физик А.Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики. Закон кон­сонансов также впервые открывал эвристические свойства математики и служил первым убедитель­ным свидетельством красоты и гармонии миро­здания, мудрой простоты и целесообразности природы, построенной на единых математичес­ких принципах.

Но закон консонансов стал и выдающимся за­коном эстетики. Он впервые указывал, что гар­мония, красота, благозвучие также определяются числом. Причем не просто числом, а простейшей четверкой натуральных чисел 1,2,3,4, которая была названа пифагорейцами четверицей — тетрактис - и почиталась ими как божественное откровение. Так что день открытия Пифагором закона консонансов с полным правом можно назвать и днем рождения экспериментальной эс­тетики. Знание математических законов строе­ния консонансов открывало дорогу к построению музыкальной шкалы - пифагоровой гаммы - и всей пифагорейской теории музыки.

Однако величие Пифагора состояло не только в том, что он открыл закон консонансов, но и сумел оценить его подлинное мировоззренческое значение. Не только «земная» музыка есть гармо­ния и число, но и все мироздание имеет прекрас­ное, простое и ясное математическое устройство, весь мир есть гармония и число. Так пифагорейцы пришли к своему знаменитому принципу: все есть число. Так мироздание получило имя космос, что по-гречески означает порядок и прекрасное устрой­ство.

Математико-эстетический тезис Пифагора о гармоничном и математическом устройстве ми­роздания имеет непреходящее значение. Идеи Пифагора вскоре были подхвачены Платоном и сформулированы им в виде важнейшего методо­логического принципа науки - принципа матема­тизации науки.

Но не менее значимой и непреходящей явля­ется и эстетическая сторона идей Пифагора о гармонии мироздания. Мысль о красоте, просто­те и гармонии мироздания проходит путеводной нитью по всей истории науки. Не случайно вели­кий физик современности Альберт Эйнштейн писал: «Без веры во внутреннюю гармонию на­шего мира не могло бы быть никакой науки. Эта вера есть и всегда останется основным мотивом всякого научного творчества».

Вторым математико-эстетическим открытием Пифагора является нахождение золотых пропор­ций в пентаграмме. Пря­мых свидетельств о том, что пифагорейцы откры­ли золотые пропорции в пентаграмме, нет. Одна­ко косвенных указаний достаточно.

Во-первых, пифагорейцы боготворили пента­грамму и выбрали ее в качестве символа привет­ствия, пожелания здравствования и тайного опознавательного знака. Во-вторых, пентаграмма об­ладает всеми видами «древних средних», извест­ных пифагорейцам, - это арифметическое, гео­метрическое и гармоническое среднее - и есть основания считать, что пифагорейцы знали это. В-третьих, - и это самое главное - любые два соседних отрезка пентаграммы относятся в золо­той пропорции или, как говорили греки, в край­нем и среднем отношениях.

Рассмотрение в пентаграмме любой пары по­добных треугольников с отношением сходствен­ных сторон

приводит к квад­ратному уравнению

х² = а(а - х),

которое пифагорейцы легко решали методом «приложения площадей». Решение последнего уравнения и дает

или число φ, которое сегодня благодаря Леонардо да Винчи мы называем коэффициентом золотого сечения.

Способы построения правильного пятиуголь­ника (а значит, и пентаграммы) и деления отрез­ка прямой в крайнем и среднем отношениях как строго научные факты известны сегодня из «На­чал» Евклида (кн. IV, пр. 11 и кн. VI, пр. 30 соот­ветственно). Хотя Евклид и жил на 200 лет позже Пифагора, все историки математики единодуш­ны в том, что эти знания восходят к школе Пи­фагора.

По всей вероятности от пифагорейцев золотые пропорции пентаграммы перешли и в греческое искусство. Известно, что прослав­ленный скульптор V в. до н.э. Поликлет, тесно связанный с пифагорейцами, написал теоретиче­ский трактат о числовых пропорциях в скульпту­ре и создал статую «Дорифор» как практическое воплощение своей теории. Трактат Поликлета не сохранился, но «Дорифор», именуемый также «Канон», дошел до нас в римских копиях.

Тщательные измерения «Канона» показывают, что единственным правилом, заложенным в нем, могут быть пропорции золотого сечения, а не известные античные системы модульного пропорционирования. Но пропорции золотого сече­ния присущи даже человеку, как, впро­чем, и большинству живых форм на Земле. На связь золотых про­порций пентаграммы и золотых пропорций чело­века указывает следующее. Древние знали, что че­ловек с максимально раскинутыми руками и но­гами вписывается в окружность с центром в пупе человека, при этом сам человек становится очень похож на пентаграмму. В то же время пуп чело­века является и ключевой точкой в построении золотых пропорций человека. «Это весьма нема­ловажное обстоятельство способно наводить на большие размышления, - пишет выдающийся знаток античности А.Ф.Лосев - и хотя точных данных к такому пониманию числовой природы канона Поликлета не имеется, все же вероятность его огромна и эстетическая значимость его почти очевидна». Так что знаменитый витрувианский человек Леонардо из галереи Ака­демии Венеции восходит не только к Витрувию, но, возможно, и к Поликлету и даже самому Пифагору.

Ученик Пла­тона Аристотель в «Метафизике» пишет: «...за­блуждаются те, кто утверждает, что математика ничего не говорит о прекрасном или благом. На самом же деле она говорит прежде всего о нем и выявляет его. Ведь если она не называет его по имени, а выявляет его свойства и отношения, то это не значит, что она не говорит о нем. А важней­шие виды прекрасного - это слаженность, сораз­мерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их».

Хотя средневековье и в религии, и в искусстве явилось антиподом античности, оно продолжило пифагорейскую традицию в онтологии красоты. И на рассвете средневековья один из отцов церк­ви Блаженный Августин в трактате «О музыке» выступил последовательным пифагорейцем во взглядах на природу красоты: «Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия пре­исполнено определенных чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспоря­дочные». И через 1000 лет, на закате средневековья, «последний схоласт» Фома Аквиант в «Сумме теологии» писал: «Красота заклю­чается в должной пропорции: ведь ощущение на­слаждается вещами, обладающими должной про­порцией, как ему подобными, поскольку и ощу­щение есть некое разумение, как и всякая позна­вательная способность вообще». За­метим, что в утверждении «ощущение есть некое разумение» Фома зорко разглядывает неразрыв­ность правополушарного и левополушарного спо­собов познания действительности.

Эпоха Возрож­дения, провозгласившая себя духовным преемни­ком античности, возродила пифагорейский союз математики и эстетики. С наи­большей ясностью это сделал первый в череде универсальных гениев Возрождения Леон Баттиста Альберти: «Красота есть строгая соразмерен­ная гармония всех частей, объединяемых тем, чему они принадлежат, - такая, что ни приба­вить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав хуже. Великая это и божественная вещь, осуществление которой требует всех сил искусст­ва и дарования, и редко когда даже самой приро­де дано произвести на свет что-нибудь вполне законченное и во всех отношениях совершен­ное...»

В 1202 г. итальянский купец Леонардо Пизанский более известный по прозвищу Фибоначчи в «Книге об абаке» впервые смоделировал и решил задачу о развитии популяции кроликов. Рост по­пуляции кроликов описывается знаменитым ря­дом Фибоначчи, который строится по рекуррент­ной формуле :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Легко заметить, что отношения первых чисел ряда Фибоначчи 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5 есть не что иное, как числовые значения важнейших консонансов примы, октавы, квинты, большой сексты (обращение малой терции 6:5) и малой сексты (обращение большой терции 5:4) соот­ветственно. Также можно обнаружить, что чем больше номер п в отношении двух соседних чисел Фибоначчи, тем ближе это отношение к коэффициенту золотого сечения. Наконец, с помощью разложения числа Ф в цепную дробь получим, что

Так было установлено единство между важней­шими эстетически значимыми пропорциями.

Еще через 300 лет в 1509 г. францисканский монах Лука Пачоли в трактате «Divina Proportione» назвал деление отрезка в крайнем и среднем от­ношении Sectio divina - божественной пропорци­ей. Пачоли рассмотрел тринадцать свойств боже­ственной пропорции, называя их эпитетами са­мых превосходных степеней, и по существу про­возгласил божественную пропорцию непререка­емым каноном красоты. Друг Пачоли Леонардо да Винчи сделал 60 рисунков к трактату, что в немалой степени способствовало успеху тракта­та, хотя и предпочитал называть пифагорейскую пропорцию Sectio aurea - золотое сечение.

И еще через 300 лет, в середине XIX в., с выхо­дом в свет труда А.Цейзинга «Новое учение о про­порциях человеческого тела», золотое сече­ние предстало как основной морфологический закон природы и искусства. Эстетико-математическая система Цейзинга может быть сведена к трем основным положениям: золотое сечение гос­подствует в искусстве; золотое сечение господст­вует в природе; золотое сечение господствует в искусстве именно потому, что оно господствует в природе. Так по прошествии двух тысячелетий вновь зазвучал Аристотелев тезис о подражании искусства природе.

Итак, Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: