Сделай Сам Свою Работу на 5

Факторы, влияющие на точность решения





 

Рассмотренные алгоритмы метода Гаусса просты, наглядны и легко программируются для ЭВМ. Однако их применение не всегда позволяет получить решение с приемлемой точностью либо не позволяет получить его вообще. К причинам возникновения недопустимо большой погрешности относятся:

· округление результатов вычислений (как при расчете вручную, так и при использовании ЭВМ);

· неточность исходных данных (что характерно для инженерных задач), которая в ряде случаев может вызвать несоразмерно большое снижение точности решения.

Округление результатов вычислений. Выполнение вычислений по методу Гаусса требует, чтобы ведущий элемент был отличен от нуля. Значения ведущих элементов не могут быть оценены заранее без вычислений, соответствующих последовательному пересчету элементов матрицы в процессе решения. Может оказаться, что на некотором шаге ведущий элемент становится равным нулю при точных вычислениях или же близким к нулю при округлении результатов вычислений (в расчетах с конечным числом значащих цифр). В первом случае получить решение не представляется возможным, а во втором – в связи с исчезновением значащих цифр в ведущем элементе (в результате вычитания двух величин, близких по значению) погрешность дальнейших вычислений может быть чрезмерно высока.



Рассмотрим решение некоторой системы уравнений при выполнении вычислений с точностью до 4Х значащих цифр. Применяем алгоритм метода Гаусса с обратным ходом.

Первый шаг:

При этом используем стандартное правило округления для пятой значащей цифры: если она равна 5 и менее – отбрасываем; если более 5 – добавляем единицу к четвертой значащей цифре.

Второй шаг:

Третий шаг:

На этапе обратного хода получим:

 


Сравним полученное решение с точным:

Полученное решение: Точное решение:

Погрешность полученных результатов чрезвычайно высока.

Причиной погрешности является потеря значащих цифр при вычислении ведущего элемента . Увеличение точности вычислений не приводит к снижению погрешности, а выполнение вычислений абсолютно точно (в обыкновенных дробях) даёт , что и вовсе не позволяет получить решение по используемому алгоритму.



Для устранения чрезмерной погрешности результатов вследствие округления (причиной которой является близость к нулю ведущего элемента) и невозможности получения решения при точных вычислениях (когда ведущий элемент равен нулю) предлагается использовать более сложную вычислительную схему, в которой на каждом k-ом шаге в качестве ведущего элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент ( ). Такая вычислительная схема называется схемой главного элемента.

Решим ту же систему уравнений, используя схему главного элемента и проводя вычисления с точностью до четырёх значащих цифр.

В исходной системе уравнений наибольшими по абсолютной величине элементами матрицы являются элементы . Выбрав в качестве ведущего элемент , в результате первого шага получим:

Среди элементов ( ) наибольшим по абсолютной величине является элемент . Поменяв местами второй и третий столбцы в левой части предыдущей системы уравнений и выполняя вычисления второго шага, получим:

Откуда

Сравнивая этот результат с точным решением ( ), видим, что погрешность решения соответствует точности вычислений. Таким образом, схема главного элемента позволяет резко снизить погрешность решения при вычислениях с округлением.

 

Реализация на ЭВМ схемы главного элемента требует гораздо более сложного программирования по сравнению с алгоритмом метода Гаусса с обратным ходом. Действительно, на каждом k-ом шаге необходимо выбрать наибольший по абсолютной величине элемент среди элементов ( ) и переставить строки и столбцы матрицы , а также элемент столбца таким образом, чтобы занял место ведущего элемента и только после этого выполнять вычисления по формулам (2-5).



В связи со сложностью программной реализации схемы главного элемента на практике применяются её модификации, которые лишь немного уступают по точности получаемых результатов, но характеризуются как более простым программированием, так и меньшим суммарным временем расчета. В этих модификациях на k-ом шаге в качестве ведущего элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент либо k-ого столбца ( ); либо k-ой строки ( ); либо главной диагонали ( ). Выбор той или иной модификации определяется особенностями матрицы для конкретной технической задачи.

Неточность исходных данных. При решении инженерных задач исходные данные всегда известны с некоторой погрешностью, определяемой конечной точностью измерения или вычисления параметров системы и её режима. Как правило, для конкретных технических задач относительная погрешность результатов, получаемых при решении систем линейных алгебраических уравнений, соизмерима с погрешностями исходных данных. Однако могут быть случаи, когда погрешности исходных данных, т.е. значений элементов матриц и , приводят к чрезмерно большой погрешности решения. Причина этого состоит в так называемой плохой обусловленности матрицы коэффициентов системы уравнений[1].


Не останавливаясь на анализе плохой обусловленности, которая детально излагается в математической литературе, проиллюстрируем влияние этого фактора на погрешность решения на примере системы уравнений:

Здесь - погрешность задания элемента

Решение этой системы при произвольном значении может быть записано в виде:

Если , то и .

Однако достаточно ввести , т.е. , чтобы получить:

Более того, при система несовместна, т.е. не имеет решения[2].

Плохая обусловленность матрицы в практике решения технических задач может быть следствием либо некорректности математического описания задачи, либо специфичности рассматриваемого состояния системы (например, при расчете установившегося режима, близкого к предельному по условию существования).

В первом случае для получения решения необходимо составление корректного математического описания, соответствующего техническому существу задачи, а во втором – использование иных методов решения системы уравнений, а не метода Гаусса.

Задание на самостоятельную проработку:

Рассмотреть способы получения исходной информации для решения рассматриваемых в курсе задач, классы точности измерительных приборов и измерительных преобразователей параметров режима.


[1] Приближенным численным показателем плохой обусловленности является малость значения определителя матрицы . Малость определителя может быть установлена путем его сопоставления с известной оценкой Адамара :

 

 

[2] Причиной такой чрезвычайно большой чувствительности решения к погрешности исходных данных является плохая обусловленность матрицы . Действительно, её определитель при :

 

т.е. значительно меньше оценки Адамара

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.