Сделай Сам Свою Работу на 5

Алгоритм метода Гаусса без обратного хода (схема Жордана)





РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ МЕТОДОМ ГАУССА

 

Практически в основе всех прямых методов решения линейных алгебраических уравнений установившегося режима электрической системы лежит метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса.

К числу наиболее характерных вычислительных схем этого метода относятся алгоритмы с обратным ходом и без обратного хода.

 

Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом

Решение системы линейных алгебраических уравнений вида

по этому алгоритму состоит из двух этапов.

На первом этапе(прямой ход) исходная система за однотипных шагов преобразуется таким образом, что матрица коэффициентов преобразованной системы становится верхней треугольной, т.е. все элементы, расположенные ниже её главной диагонали, равны нулю.

На втором этапе(обратный ход) последовательно определяются значения неизвестных от до .

 

Последовательность операций, выполняемых при прямом ходе, следующая:

На первом шаге в исходной системе уравнений:

первое уравнение делится на . После этого коэффициент при в первом уравнении . Далее исключается из всех последующих уравнений ( ) путем умножения первого уравнения каждый раз на и вычитанием из - го уравнения. В результате этих операций получается система уравнений с матрицей коэффициентов :



где для элементов первой строки

для элементов нижележащих строк

.

Выполнение операций первого шага требует, чтобы элемент , называемый ведущим, был отличен от нуля.

Второй шаг состоит в исключении из системы уравнений , полученной на первом шаге путем выполнения аналогичных операций при использовании в качестве ведущего элемента . В результате система приводится к виду .

Третий и последующие шаги выполняются аналогично. Формулы для расчета коэффициентов системы уравнений на произвольном (k-ом) шаге запишутся:

(2-5)

На последнем шаге ( ) второе из выражений (2-5) определяет . Таким образом, при прямом ходе ведущими последовательно выступают элементы:

,

и их отличие от нуля является условием осуществления процесса вычислений.

Процесс преобразования матрицы коэффициентов исходной системы уравнений к верхней треугольной на этапе прямого хода проиллюстрируем графически, выделяя области, соответствующие пересчитываемым на последующих шагах элементам, штриховкой:



 


В результате выполнения шагов образуется система уравнений вида:

(2-6)

На этапе обратного хода определяются неизвестные в следующем порядке. Поскольку уже определён, записываем:

(2-7)

В общем виде формулы для обратного хода могут быть записаны как:

(2-8)

 

Алгоритм метода Гаусса без обратного хода (схема Жордана)

Решение системы линейных алгебраических уравнений по этому алгоритму осуществляется за один этап, в результате которого матрица коэффициентов за однотипных шагов приводится к единичной, т.е. система уравнений разрешается относительно искомых неизвестных, которые равны соответствующим элементам полученного в результате преобразований столбца в правой части системы.

На первом шаге вычисления выполняются точно так же, как и в алгоритме Гаусса с обратным ходом. Получаемая в результате этого преобразования система уравнений

характеризуется тем, что первый элемент первого столбца матрицы равен единице, а остальные элементы столбца равны нулю.

На втором шаге, как и в предыдущем алгоритме, в качестве ведущего элемента выбирается диагональный элемент второго столбца матрицы , т.е. . Отличие состоит в том, что дополнительно преобразуется также и первая строка матрицы , причем таким образом, чтобы элемент обратился в нуль.

Выполнение операций произвольного k-го шага соответствует преобразованию k-го столбца таким образом, чтобы его диагональный элемент стал равен единице, а недиагональные элементы – нулю.



Формулы для расчета коэффициентов системы уравнений на k-ом шаге будут иметь точно такой же вид, как и в алгоритме метода Гаусса с обратным ходом, отличаясь лишь диапазоном изменения индекса строки i, поскольку на каждом шаге рассчитываются элементы всех строк матрицы . Следовательно, на k-ом шаге элементы матрицы и столбца определяются по выражениям:

(2-5а)

В результате выполнения последнего шага ( ), на котором пересчитываются элементы последнего столбца матрицы и все элементы столбца , получаем матрицу и, следовательно, .

Процесс преобразования матрицы коэффициентов проиллюстрируем графически:

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.