Методика расчета переходного процесса в линейной электрической цепи классическим методом.

3.2.1. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

При составлении уравнений пользуются следующими соотношениями:

, , .

3.2.2. Составить общее решение полученного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_у и и_у.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описы­вает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который называют свободным процессом.Токи и напряжения свободного процесса обозначают i_св и u_св

Таким образом, искомый ток или напряжение имеет вид

, . (1)

Далее все выкладки будут приведены на примере тока, а для напряжений получаются аналогичные выражения.

3.2.3. Ток установившегося режима i_у определяется любым из ранее изученных методов расчета, т.к. предыдущие занятия были посвящены методам расчета установившихся режимов линейных электрических цепей.

3.2.4. Свободный ток будет иметь вид: .

Для нахождения корней, число которых равно порядку однородного дифференциального уравнения, характеристического уравнения p воспользуемся простейшим методом:

- составим выражение полного комплексного сопротивления для послекоммутационной цепи Z(jω).

- заменим в данном выражении jω на p и приравняем полученное выражение к нулю;

- из характеристического уравнения Z(p) = 0 найдем искомое p.

3.2.5. Для нахождения постоянных интегрирования A, число которых равно порядку однородного дифференциального уравнения, найдем независимые начальные условия i_L(0), u_C(0), используя которые, решим уравнение (1) для t = 0. При этом делаем допущение, что ключи идеальны, т.е. коммутация происходит мгновенно без учета возможных искровых и дуговых явлений.

3.2.6. В качестве ответа записывают полученную по выражению (1) функцию i(t) и её график в диапазоне от нуля до (3…5)τ, где - постоянная времени переходного процесса.

Пример расчета переходного процесса в линейной электрической цепи классическим методом

задание

К RШ LК RК Е iШ iК i Рисунок – 3.1 a b Задана схема цепи, в которой происходит коммутация: отключение катушки, подключенной к зажимам ab, с параметрами RК, LК и шунта RШ от источника постоянной ЭДС. Дано: Е=12 В, RК=1 Ом, LК= 1 Гн, RШ=1 кОм. Требуется: д) Рассчитать ток и напряжение на катушке iК(t), uК(t); е) Построить графики iК(t), uК(t); ж) Проанализировать переходный процесс с точки зрения опасности выхода из строя оборудования, если предельные допустимые ток и напряжение катушки 50А и 1200В.

выполняем п. 3.2.1

К RШ LК RК Е iК К1 a b Рисунок – 3.2 Сразу после коммутации в цепи (размыкания ключа «К») неизменным, по закону коммутации, остается только ток iК. Ток i падает до нуля, ток iШ изменяется по направлению и становится равным iК. Поэтому для нахождения единственного тока составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура К1: . (2) За переменную принимаем ток iК, т.к. он протекает через индуктивность и, следовательно, является независимой переменной: . (3)

выполняем п. 3.2.2

Искомый ток будет иметь следующий общий вид: iК = iКу + iКсв. (4)

выполняем п. 3.2.3

Найдем iКу. Установившийся ток iКу находят любым из ранее изученных методов. Можно использовать выражение (2), описывающее данный контур в любом режиме и переписать его в комплексной форме . Т.к. E – источник постоянной ЭДС, то ω = 0, следовательно и XК = ωLК = 0. По той же причине далее будем записывать не комплексный ток, а действующее значение тока . Таким образом, iКу=0.

выполняем п. 3.2.4

Свободный ток будет иметь вид: . Найдем p – корень из характеристического уравнения . Для чего составим выражение полного комплексного сопротивления Z(jω) для послекоммутационной цепи: , заменим jω на p и приравняем к нулю, получим характеристическое уравнение , откуда с-1.

выполняем п. 3.2.5

Найдем А – постоянную интегрирования из уравнения (4) при t = 0. Она будет одна, т.к. уравнение переходного процесса (3) первого порядка относительно искомого тока. Для этого найдем независимые начальные условия iL(0), uC(0). В нашем случае iК(0). Т.к. по первому закону коммутации , то найдем ток через индуктивность до коммутации iК(0-), который примем за iК(0). До коммутации (до размыкания ключа) был установившийся режим (см. рис. 3.1), поэтому . Т.к. E – источник постоянной ЭДС, то ω = 0, следовательно и XК = ωLК = 0. Следовательно, А, т.е. iК(0) = 12 А. Теперь используя выражение (4) для t = 0 находим A: iК(0) = iКу(0) + iКсв(0) → 12 = 0 + А∙е -1001∙0 → А = 12.

выполняем п. 3.2.6

Искомый ток iК = 0 + 12∙е -1001∙t = 12∙е -1001∙t А. Искомое напряжение uK – это напряжение между узлами ab (рис. 3.2). Которое можно найти, используя одно из выражений: или . Второй вариант проще: uК=iК∙RШ=1000∙12∙е -1001∙t = 12000∙е -1001∙t В. (5) Постоянная времени с. Строим графики зависимостей iК(t), uК(t) на интервале 0-5τ.   iK, А uK, В τ 2τ 3τ 4τ 5τ t, с uK iK     Анализ графиков показывает, что ток iК(t) плавно уменьшается от установившегося тока в 12А до нуля за время 5τ. Напряжение uК(t) в момент t=0 резко увеличивается от 12В до коммутации до 12000В сразу после коммутации, а затем плавно уменьшается до нуля. Таким образом, по току переходный процесс не опасен, но напряжение достигает опасных для устройства значений. Следовательно, необходимо предусмотреть меры по уменьшению напряжения uК(t), особенно в начальный момент времени. Проанализировав выражение (5) делаем вывод, что начальное напряжение катушки uК(0) зависит от тока iК и сопротивления RШ. Обычно параметры катушки нельзя менять, т.к. они определяются техническими требованиями к ней, а сопротивление RШ специально используется для разряда катушки при размыканиях ключа (если его убрать, то RШ→∞ и uК(0)→∞). Таким образом, уменьшая сопротивление RШ уменьшаем и uК(0). Если RШ≤100Ом, то uК(0)≤1200В.   * RШ является балластом при замкнутом ключе, т.е. уменьшает КПД всей установки, поэтому нельзя выбирать RШ →0. * При расчете быстродействующих устройств появляются дополнительные ограничения по продолжительности переходного процесса τmax или по минимальному значению тока (напряжения, энергии) достигаемому за время переходного процесса.

3.3. Задание для самостоятельного расчета переходного процесса классическим методом.

На рисунке 3.3 представлена схема для расчета переходного процесса, а в таблице 3.1 варианты заданий по схеме. R₀ = 2 Ом. В таблице указаны положения ключей К₁ и К₂ до коммутации и после коммутации. Если ключ К₂ и до, и после коммутации разомкнут (положение «0»), то ветвь с сопротивлением Z₃ можно убрать из варианта. Если ключ К₁ до и после коммутации не находился в положении «2», то ветвь с сопротивлением Z₁ можно не изображать. Если в столбце φ₀ задан угол, то е₀=E_msin(314t+φ₀), а в столбце е₀ в этом случае задано E_m. Если φ₀ не задано, то е₀ - источник постоянной ЭДС. Рассчитать и построить i_L(t), u_C(t) i_С(t), u_L(t), если соответствующие элементы есть в схеме. Сделать вывод о надежности схемы, если предельно-допустимые кратковременные значения токов равны 10∙I_раб, а напряжений 5∙U_раб. I_раб, U_раб – это максимальные значения токов (напряжений) в установившемся режиме при замкнутом положении ключа.

Таблица 3.1

Примечания: варианты 1-24 – первый порядок постоянного и переменного тока; варианты 25-46 – второй порядок постоянный и переменный ток; варианты 47-50 – особый случай (отключение двух однотипных элементов).

Список рекомендуемой литературы

1. Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для неэлектротехн. спец. вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 11-е изд., стер. - М.: Академия, 2007. - 539 с.

2. Борисов Ю.М. Электротехника: Учеб. для неэлектротехн. спец. вузов / Ю. М. Борисов, Д. Н. Липатов, Ю. Н. Зорин. - 2-е изд., перераб., и доп. - М. : Энергоатомиздат, 1985.

3. Электротехника: Учеб. для неэлектротехн. спец. вузов / [Зейдель Х.Э. и др.]; Под ред. В.Г. Герасимова. - М. : Высш. шк., 1985. - 480 с.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: [Учеб. для втузов] / Л. А. Бессонов. - 9-е изд. - М.: Гардарика, 2002. - 638с.

5. Рекус Г.Г. Сборник задач по электротехнике и основам электроники: Учеб. пособие для вузов по неэлектротехн. спец. / Г.Г. Рекус, А.И. Белоусов. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 2001. - 416с.

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Методические указания к практическим занятиям для студентов всех форм обучения неэлектротехнических специальностей

Составители: Квон Алексей Михайлович;

Автайкин Илья Николаевич

Компьютерная верстка А.М. Квон

______________________________________________

Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага офсетная Офсетная печать

Печ. л. 2,56. Изд. №

Усл. печ. л. 2,56. Тираж экз.

Уч.-изд. л. 1,09. Заказ №

Цена руб.

______________________________________________

Кубанский государственный технологический университет

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2, кор. А

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: