Сделай Сам Свою Работу на 5

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1





Задача. Найти точки локального экстремума функции и значения функции в них:

Решение. а) Находим производную:

Решим уравнение х=11.

Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точка х=11 является критической точкой. Других критических точек нет, так как существует всюду.

Исследуем критическую точку, определяя знак первой производной, слева и справа от неё.

Таблица 33

x 0 11 20
+ 0 +
f(x) возрастает возрастает

Так как на всей числовой оси функция возрастает, то она не имеет экстремумов.

б) Находим производную:

Решим уравнение

Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки х1=0 и х2=0,25 являются критическими точками. Других критических точек нет, так как f(x) существует всюду. Исследуем критические точки, определяя знак первой производной, слева и справа от каждой точки.

Таблица 34

x -1 0 0.1 0.25 1
- 0 + 0 -
f (x) убывает возрастает убывает

 

На интервале (0; 0,25) функция возрастает, а на интервалах (-¥; 0) и (0,25; +¥) – убывает.

Значит, х1=0 – точка минимума, f(0)=0; х2=0,25 – точка максимума, f(0.25)»0.0596.



 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале [-0.9; 2.2].

Решение. Найдем критические точки функции f(x), лежащие внутри заданного отрезка: , при х1=0 и х2=-1/3. Эти точки лежат внутри рассматриваемого отрезка и являются критическими. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

f(-0.9)=9.732; f(-1/3) »12.1296; f(0)=12; f(2.2) »103.476.

Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-0.9; 2.2] равно 103,476 и достигается на правой границе отрезка х=2,2, а её наименьшее значение равно 9,732 и достигается на левой границе отрезка х=-0,9.

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 3

Задача. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции

Решение. Найдем последовательно первую и вторую производную функции f(x):

Решим уравнение

Определим знак второй производной слева и справа от точки

Таблица 35

х -1 -4/9 0
- 0 +
f(x) выпукла перегиб вогнута

Значит, на интервале (-¥; -4/9) график функции выпуклый, на интервале (-4/9; +¥) график функции вогнутый, х=-4/9 – точка перегиба.



 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 4

Задача. Найти градиент функции в точке М(1; -3) и найти производную в той же точке по направлению MN, если N(0; -5).

Решение. а) Находим частные производные: и их значения в точке М(1; -3):

б) Найдем единичный вектор l, имеющий данное направление:

откуда

Вычислим частные производные функции в точке М(1; -3):

Получаем,

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 5

Задача. Исследовать функцию на локальный экстремум.

Решение. Найдем частные производные функции z и приравняем их к нулю:

Её решением являются пары (0; 0) и , т.е. на экстремум надо проверить точки М0(0; 0) и М1 . Частные производные второго порядка имеют вид:

Вычислим D в точках М0 и М1:

значит экстремума в точке М0 нет;

Так как в точке М1 коэффициенты D>0 и A>0, то точка М1 является точкой минимума.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 2

Задача 1. Методом Пауэлла найти точку минимума х* функции f(x) с точностью e и минимум f*.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задача 2. В предыдущей задаче выделить интервал, содержащий минимум функции, так, чтобы концы интервала были целыми числами, и найти минимум той же функции с заданной точностью методом золотого сечения.

 

Задача 3. Минимизировать функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.



8.

9.

10.

11.

12.

 

Задача 4. Найти глобальное решение задачи методом Лагранжа:

Таблица 36

номер варианта a б c
2 3 7
1 5 8
3 1 6
2 4 9
4 1 6
2 5 6
1 4 8
3 5 7
4 3 6
1 6 9
3 1 10
1 5 10
2 7 10
4 4 8
4 2 12
6 2 4
6 2 8
8 2 5
8 2 10
8 3 11

 

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

Задача. Найти минимальное значение f* и точку минимума х* функции методом Пауэлла. Точку х* найти с точностью e=0,1.

Решение. Пусть начальная точка x1 =1 и длина шага Dx = 1. Для проверки на окончание поиска используем условие:

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4.

 

Шаг 5. Используя метод параболической аппроксимации, находим

 

Шаг 6. Проверка на окончание поиска:

Продолжаем поиск.

 

Шаг 7. Выбираем «наилучшую» точку, и точки, их окружающие. Обозначаем эти точки в естественном порядке Переходим к итерации 2, которая начинается с шага 4.

Итерация 2.

Шаг 4.

Шаг 5.

Шаг 6. Проверка на окончание поиска:

Условия окончания поиска выполняются, следовательно, вычисления заканчиваем.

Получили

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.