Условия существования седловой точки
При обсуждении условий оптимальности Куна – Таккера предполагалось, что целевая функция и функции, входящие в ограничения, являются дифференцируемыми. Далее рассматриваются критерии оптимальности для недифференцируемых функций при наличии ограничений.
Определение. Говорят, что функция f(x, y) имеет седловую точку (х*, у*), если для всех х и у.
В определении седловой точки подразумевается, что при х* минимизирует функцию f(x, y*) по всем х, а у* максимизирует функцию f(x*, y) по всем у.
Обратимся к методу множителей Лагранжа, изложенному выше. Этот метод используется при решении задач условной оптимизации, которые записываются в следующем виде:
Минимизировать f(x)
при ограничениях hk(x) = 0, k = 1, … , K.
Определим функцию Лагранжа
Предположим, что при v = v* минимум L(x; v*) достигается в точке х = х*, причем hk(x*)=0. В соответствии с методом множителей Лагранжа известно, что х* есть оптимальное решение задачи нелинейного программирования. Можно показать, что (x*; v*) – седловая точка функции Лагранжа, т. е.
при любых x и v.
Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:
минимизировать f(x)
при ограничениях
Множество S может вводится для того, чтобы учесть дополнительные ограничения на управляемые переменные, например, в тех случаях, когда все управляемые переменные должны принимать только целые значения или значения из некоторого дискретного множества.
Задача Куна – Таккера о седловой точке формулируется следующим образом: найти такой вектор (x*; u*), чтобы неравенство
имело место для всех и всех x Î S. При этом
Теорема 3. Достаточные условия оптимальности
Если (x*;u*) – решение задачи Куна – Таккера о седловой точке, то х* есть оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
Замечание.
1) В теореме 3 не требуется выполнения предположений о выпуклости или вогнутости соответствующих функций.
2) Теорема 3 не опирается на условие регулярности допустимой области.
3) Учет нелинейных ограничений-равенств в виде hk(x*)=0, k=1, . . . , K, можно осуществить путем переопределения функции Лагранжа: Здесь переменные vk, k=1, …, K, не ограничены по знаку.
4) Теорема 3 устанавливает лишь достаточные условия оптимальности. В связи с этим следует отметить, что встречаются такие задачи нелинейного программирования, в которых седловые точки не существуют и которые в то же время обладают оптимальными решениями.
Рассмотрим условие существования седловых точек. Несколько теорем устанавливают необходимые условия оптимальности, которые гарантируют существование седловой точки при отсутствии предположения о дифференцируемости соответствующих функций. Однако формулировки таких теорем базируются не предположениях о выполнении условий регулярности допустимой области и выпуклости функций.
Теорема 4. Необходимые условия оптимальности
Пусть х* минимизирует f(x) при ограничениях Предполагается, что S – выпуклое множество, f(x) – выпуклая функция, а gj(x) – функции, вогнутые на множестве S. Предполагается также, что существует такая точка , в которой для всех j=1, 2, …, J. Тогда существует такой вектор множителей , что (x*, u*) является седловой точкой функции Лагранжа
и неравенство
выполняется для всех
Следующая теорема обеспечивает некоторое упрощение вычислений, связанных с нахождением седловой точки.
Теорема 5. Вектор (x*; u*), где , определяет седловую точку в задаче Куна – Таккера о седловой точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) х* минимизирует L(x; u*) по всем ;
2) для j =1, …, J;
3) для j=1, …, J.
Важно отметить, что существование седловых точек характерно не для всех задач нелинейного программирования; седловые точки имеются лишь в тех задачах, которые отвечают условиям теоремы 4.
Вопросы к главе 7
1. Поясните трудности, которые возникают при использовании метода множителей Лагранжа для решения задач с неотрицательными переменными.
2. Что такое седловая точка? Какую роль играет решение задачи о седловой точке в условной оптимизации?
3. При выполнении каких условий существуют седловые точки в задачах нелинейного программирования?
4. Укажите основные направления использования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка.
5. Напишите функцию Лагранжа.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|