Нечеткие отношения и операции над ними

Опр. 1. Отношением на множестве называется некоторое подмножество декартова произведения .

В соответствии с этим определением задать отношение на множестве означает указать все пары , которые связаны отношением . Для обозначения того, что элементы связаны отношением, будем пользоваться следующими двумя эквивалентными формами записи: или .

Если множество , на котором задано отношение , конечно, то отношение задается в двух формах:

1) в матричной:

, , ,

2) в графовой:

Пусть на множестве заданы два отношения и , множество определяется матрицей , - матрицей .

Тогда рассмотрим отношение , которое является объединением двух отношений: .

Если является пересечением отношений и , то .

Опр. 2. Отношение включает в себя отношение , если для соответствующих множеств и выполняется условие .

Опр. 3. Если между и существует отношение , то обратным к нему называется такое отношение , что существует тогда и только тогда, когда . Если при этом , - матрицы этих отношений, то элементы этих матриц связаны соотношением: , .

Опр. 4. Произведение (композиция) отношений на декартовом произведении определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда существует такой , для которого выполнены одновременно отношения и . При этом элементы матриц отношений связаны следующим образом:

Основные свойства отношений:

1. Отношение рефлексивно, если или для любого .

Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел: отношение (‘больше-равно’).

2. Отношение на антирефлексивно, если из того, что следует . В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1, а антирефлексивного – 0.

3. Отношение симметрично, если из того, что следует . Матрица симметричного отношения – симметричная. Отношение называется антисимметричным, если из того, что и , следует .

4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие: .

Нечеткие отношения

Опр. 5. Нечетким отношением на универсальном множестве называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности , что . Причем принимается как субъективная мера выполнения отношения .

Или другой способ записи:

В общем случае -арное отношение есть нечеткое подмножество декартового произведения универсальных множеств , причем:

Пример 1. Пусть заданы:

а) четкое отношение , где ;

б) нечеткое отношение .

Рисунок 1.3 – Примеры задания отношений и

На рисунке 1.3 приведены пары из интервала , связанные отношением , то есть такие, что . Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей – диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству (например, точка ), а также те, которые определенно не принадлежат (например, ).

Кроме того, имеется нечеткое множество пар , о принадлежности которых к множеству можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка ). Поэтому нечеткое множество характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности пары следует характеризовать плотностью штриховки (рисунок 1.3,б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения при фиксированном .

Соответствие семейство функций приведено на рисунке 1.4. Если нечеткое отношение на конечно, то его функция принадлежности задается в виде квадратной матрицы , , с элементами . Если , то это означает, что степень выполнения отношения равна .

Рисунок 1.4 – Некоторые сечения отношения

Пример 2. Пусть . Отношение можно задать функцией принадлежности

Пример 3. Пусть , , . Нечеткое отношение может быть задано, к примеру, в виде таблицы:


	0.1	0.3
0.8		0.7
0.5	0.6

Пример 4. Нечеткое отношение , для которого , при достаточно больших можно интерпретировать так: « и близкие друг к другу числа»

Опр. 5. Носителем нечеткого отношения на множестве называется подмножество декартова произведения , определяемое как:

Пример 5. Пусть нечеткое отношение задано в виде:


0.1		0.2
0.3			0.9
0.4	0.7

Тогда носитель данного отношения будет иметь вид:

Опр. 6. Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности , . Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и на множестве , если его функция принадлежности определяется выражением

Аналогично множество является пересечением нечетких множеств и , если

Пример 6. Даны отношения и . Найти объединение и пересечение этих отношений.


0.3	0.4	0.2		0.3		0.7
0.8			0.2	0.1	0.8
0.5		0.4		0.6	0.9	0.3	0.2

Результат:


0.3	0.4	0.7		0.3		0.2
0.8				0.1	0.8		0.2
0.6	0.9	0.4	0.2	0.5		0.3

Опр. 7. Нечеткое отношение включает в себя (или содержит) нечеткое отношение ( ), если для них выполняется соотношение

Пример 7 Даны отношения и . Проверить: содержит ?


0.3	0.4	0.2		0.4	0.4	0.2	0.1
0.5			0.9	0.5
0.4		0.1	0.8	0.5	0.1	0.2	0.9

Ответ: содержит .

Задания:

Задача 1. Дано нечеткое отношение в виде таблицы. Найти носитель данного отношения (см. пример 5).

Вариант 1.


0.7	0.5
	0.8		0.75
0.43		0.94

Вариант 2.


	0.1	0.2
0.3		0.4	0.5
	0.6		0.7

Вариант 3.


0.1		0.6	0.7
	0.4	0.5
0.2			0.3

Вариант 4.


0.2	0.5		0.7
		0.4	0.9
0.3	0.1

Вариант 5.


0.4	0.7	0.6
0.9			0.3
	0.2	0.1

Вариант 6.


0.4	0.5	0.1
	0.2	0.7
0.3	0.8

Вариант 7.


		0.4	0.6
0.1			0.2
0.9	0.7	0.3

Вариант 8.


	0.5		0.8
	0.4	0.7
0.2		0.1	0.3

Вариант 9.


	0.9	0.4
0.3			0.97
0.1		0.6	0.2

Вариант 10.


	0.8		0.9
0.2		0.5	0.1
	0.3		0.4

Задача 2. Даны отношения и . Найти объединение и пересечение этих отношений (см. пример 6).