Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах (вывод).

Положение плоскости в трехмерном пространстве будет вполне определено, если известно ее расстояние P от начала координат O, т.е. длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор , перпендикулярный к плоскости. По условию, . Для любой точки M(x,y,z), лежащей на плоскости, имеем (рисунок 4.11):

С другой стороны, по определению скалярного произведения двух векторов имеем:

или

(4.36)

Уравнение (4.36) называется векторным уравнением плоскости. Одновременно уравнение (4.36) называется нормальным уравнением плоскости.

Пусть теперь единичный вектор образует с осями координат соответственно углы α, β, γ. Тогда имеет своими координатами направляющие косинусы, т.е. . Далее, вектор . Тогда получим скалярное произведение векторов:

При этом уравнение (4.36) примет вид:

(4.37)

Уравнение (4.36) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в координатной форме.

Замечание: как и в случае нормального уравнения прямой, в рассматриваемом случае уравнение (4.37) можно получить, используя теорию проекций.

2. Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость не проходит через начало координат, а отсекает от осей координат соответственно отрезки a, b, c. Как видно из рисунка 4.10, плоскость проходит через точки M(a,0,0), N(0,b,0) и R(0,0,c). Рисунок 4.10Пусть общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 (4.31). Подставим в это уравнение координаты точек M, N и R, получим:

(4.34)

Так как плоскость не проходит через начало координат, то D≠ 0. Так как плоскость отсекает от осей координат ненулевые отрезки, то A≠ 0, B≠ 0, C≠ 0. Тогда из (4.34) имеем:

Подставив эти значения в уравнение (4.31), получим: .

Так как D≠0, то все члены последнего равенства можно разделить на (-D). Получим:

или (4.35)

Уравнение (4.35) и есть уравнение плоскости в отрезках.

3. Теоремы о пределах (вывод одной из них).

Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f(x) при x®a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде: f(x) = A+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция.

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Если функция ³0 ( £0) для любых х в некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и в точке а имеет предел, то

Теорема 4. Если функции и имеют пределы при x®a, то при x®a имеют пределы их сумма + произведение и при условии, то частное причем (1)

(2)

(3)

Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1).

Пусть , тогда по теореме 1:

где

Отсюда

По свойству бесконечно малых (1) α(x) + β(x) – бесконечно малая, следовательно, по теореме (1):

Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при x → a, то:

, где n – натуральное число.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, c = const.

Теорема 5. Если для функций f(x), f1(x) и f2(x) в некоторой окружности точки a выполняется неравенство

, и , то

4. Первый замечательный предел (вывод).

Теорема. (раскрывает неопределенность типа ).

Доказательство.

Возьмем круг единичного радиуса и положим . X – угол выраженный в радианах.

Обозначим площади треугольника ОАВ через– S₁, треугольника ОАС – S₂, площадь сектора ОАВ – через S.

Неравенство (1) получено для однако cos x и функции четные ,т.к. cos (-x) = cos x.

т.е. (1) справедливо и для т.к. , то из (1) на основании теоремы 5 заключаем .

5.Производные элементарных функций (вывод одной из них).

I. Правила дифференцирования	II. Формулы дифференцирования
1. 2. 3. , :	1. ; ; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

Выведем формулу нахождения производной показательной функции

Придавая аргументу приращение , находим для приращения функции следующее значение:

(4.22). Делим на : (4.23)

Переходим к пределу при :

, но . Поэтому (4.24). Итак

(4.25). В частности, (4.26) (так как ).

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного (доказательство одного из них).

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

Убедимся в этом для суммы двух функций (для большего числа слагаемых доказательство аналогичное).

Пусть ; но тогда . Деля на , имеем .

Отсюда, переходя к пределу при , находим (так как предел суммы равен сумме пределов):

или .

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: