Критерий знаков (G-критерий)

Критерий предназначен для сравнения состояния некоторого свойства у членов двух зависимых выборок на основе измерений, сделанных по шкале не ниже ранговой.

Имеется две серии наблюдений над случайными переменными X и У, полученные при рассмотрении двух зависимых выборок. На их основе составлено N пар вида (хi, уi), где хi, уi — результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях объектами изучения могут служить учащиеся, учителя, администрация школ. При этом хi, уi могут быть, например, балловыми оценками, выставленными учителем за двукратное выполнение одной и той же или различных работ одной и той же группой учащихся до и после применения некоторого педагогическою средства.

Элементы каждой пары хi, уi сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак «+», если хi < уi , знак «—», если хi > уi и «0», если хi = уi.

Нулевая гипотеза формулируются следующим образом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно различны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Статистика критерия (Т) определяется следующим образом:

допустим, что из N пар (х, у,) нашлось несколько пар, в которых значения хi и уi равны. Такие пары обозначаются знаком «0» и при подсчете значения величины Т не учитываются. Предположим, что за вычетом из числа N числа пар, обозначенных знаком «0», осталось всего n пар. Среди оставшихся n пар подсчитаем число пар, обозначенных знаком «-», т.е, пары, в которых xi<yi. Значение величины Т и равно числу пар со знаком минус.

Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости 0,05, если наблюдаемое значение T<n-ta, где значение n-ta определяется из статистических таблиц для критерия знаков.

6.2.2 Критерий χ2 (хи-квадрат)

Критерий χ2 (хи-квадрат) применяется для сравнения распределений объектов двух совокупностей на основе измерений по шкале наименований в двух независимых выборках.

Таблица 2.

Предположим, что состояние изучаемого свойства (например, выполнение определенного задания) измеряется у каждого объекта по шкале наименований, имеющей только две взаимоисключающие категории (например: выполнено верно — выполнено неверно). По результатам измерения состояния изучаемого свойства у объектов двух выборок составляется четырехклеточная таблица 2X2. (см. табл. 3).

Таблица 3.

В этой таблице Оij — число объектов в i-ой выборке, попавших в j-ую категорию по состоянию изучаемого свойства; i=1,2 – число выборок; j=1,2 – число категорий;; N — общее число наблюдений, равное О11 + О12 + О21 + О22 или n1+n2.

Тогда на основе данных таблицы 2X2 (см. табл. 3) можно проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей попадания объектов первой и второй совокупностей в первою (вторую) категорию шкалы измерения проверяемого свойства, например гипотезу о равенстве вероятностей верного выполнения некоторого задания учащимися контрольных и экспериментальных классов.

При проверке нулевых гипотез не обязательно, чтобы значения вероятностей р1 и р2 были известны, так как гипотезы только устанавливают между ними некоторые соотношения (равенство, больше или меньше).

Для проверки рассмотренных выше нулевых гипотез по данным таблицы 2X2 (см. табл. 3) подсчитывается значение статистики критерия Т по следующей общей формуле:

(9)

где n1, n2 — объемы выборок, N = n1 + n2 — общее число наблюдений.

Проводится проверка гипотезы H0: p1£p2 — при альтернативе Н1: р1>р2. Пусть a — принятый уровень значимости. Тогда значение статистики Т, полученное на основе экспериментальных данных, сравнивается с критическим значением статистики х1-2a,, которое определяется по таблице c2 c одной степенью свободы (см. Приложение 2) с учетом выбранного значения a. Если верно неравенство T<x1-2a, то нулевая гипотеза принимается на уровне a. Если данное неравенство не выполняется, то у нас нет достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы.

В связи с тем что замена точного распределения статистики Т распределением c2 c одной степенью свободы дает достаточно хорошее приближение только для больших выборок, применение критерия ограничено не­которыми условиями.

Критерий не рекомендуется использовать, если:

1) сумма объемов двух выборок меньше 20;

2) хотя бы одна из абсолютных частот в таблице 2X2, составленной на основе экспериментальных данных, меньше 5.

Пример 2. Проводился эксперимент, направленный на выявление лучшего из учебников, написанных двумя авторскими коллективами в соответствии с целями обучения геометрии и содержанием программы IX класса. Для проведения эксперимента методом случайного отбора были выбраны два района, большинство школ которых относились по расположению к сельским. Учащиеся первого района (20 классов) обучались по учебнику № 1, учащиеся второго района (15 классов) обучались по учебнику №2.

Рассмотрим методику сравнения ответов учителей экспериментальных школ двух районов па один из вопросов анкеты: «Доступен ли учебник в целом для самостоятельного чтения и помогает ли он усвоить материал, который учитель не объяснял в классе (Ответ: да — нет.)

Отношение учителей к изучаемому свойству учебников измерено по шкале наименований, имеющей две категории: да, нет. Обе выборки учителей случайные и независимые.

Ответы 20 учителей первого района и 15 учителей второго района распределим на две категории и запишем в форме таблицы 2Х2 (табл. 2).

Таблица 4.

Все значения в табл. 7 не меньше 5, поэтому в соответствии с условиями использования критерия c2 подсчет статистики критерия производится по формуле (9).

По таблице для одной степени свободы (v=l) и уровня значимости a=0,05 найдем х1-aа =Ткритич = 3,84. Отсюда верно неравенство Тнаблюд<Ткритич (1,86<3,84). Согласно правилу принятия решений для критерия c2, полученный результат не дает достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы, т. е. результаты проведенного опроса учителей двух экспериментальных районов не дают достаточных оснований для отклонения предположения об одинаковой доступности учебников №1 и 2 для самостоятельного чтения учащимися.

Применение критерия хи-квадрат возможно и в том случае, когда объекты двух выборок из двух совокупностей по состоянию изучаемого свойства распределяются более чем на две категории. Например, учащиеся экспериментальных и контрольных классов распределяются на четыре категории в соответствии с отметками (в баллах: 2, 3, 4, 5), полученными учащимися за выполнение некоторой контрольной работы.

Результаты измерения состояния изучаемого свойства у объектов каждой выборки распределяются на С категорий. На основе этих данных составляется таблица 2ХС, в которой два ряда (по числу рассматриваемых совокупностей) и С колонок (по числу различных категорий состояния изучаемого свойства, принятых в исследовании).

Таблица 5.

На основе данных таблицы 8 можно проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей попадания объектов первой и второй совокупностей в каждую из i (i=l, 2, ..., С) категорий, т. е. проверить выполнение всех следующих равенств: р11= р21, p12 = p22, …, p1c = p2c. Возможна, например, проверка гипотезы о равенстве вероятностей получения отметок «5», «4», «3» и «2» за выполнение учащимися контрольных и экспериментальных классов некоторого задания.

Для проверки нулевой гипотезы с помощью критерия c2 на основе данных таблицы 2ХС подсчитывается значение статистики критерия Т по следующей формуле:

(10)

где п1 и п2 — объемы выборок.

Значение Т, полученное на основе экспериментальных данных, сравнивается с критическим значением х1-a, которое определяется по таблице c2 с k=С—1 степенью свободы с учетом выбранного уровня значимости a. При выполнении неравенства Т> х1-aа нулевая гипотеза отклоняется на уровне а и принимается альтернативная гипотеза. Это означает, что распределение объектов на С категорий по состоянию изучаемого свойства различно в двух рассматриваемых совокупностях.

Пример 7. Рассмотрим методику сравнения результатов письменной работы, проверявшей усвоение одного из разделов курса учащимися первого и второго районов.

Методом случайного отбора из учащихся первого района, писавших работу, была составлена выборка объемом 50 человек, из учащихся второго района — выборка объемом 50 человек. В соответствии со специально разработанными критериями оценки выполнения работы каждый ученик мог попасть в одну из четырех категорий: плохо, посредственно, хорошо, отлично. Результаты выполнения работы двумя выборками учащихся используем для проверки гипотезы о том, что учебник № 1 способствует лучшему усвоению проверяемого раздела курса, т. е. учащиеся первого экспериментального района в средне будут получать более высокие оценки, чем учащиеся второго района.

Результаты выполнения работы учащимися обеих выборок запишем в виде таблицы 2X4 (табл. 6).

Таблица 6.

В соответствии с условиями использования критерия c2 подсчет статистики критерия производится по корректированной формуле (10).

(10)

В соответствии с условиями применения двустороннего критерия хи-квадрат по таблице из приложения 2 для одной степени свободы (k=4-l=3) и уровня значимости a=0,05 найдем х1-aа =Ткритич = 7,815. Отсюда верно неравенство Тнаблюд<Ткритич (6,45<7,815). Согласно правилу принятия решений для критерия c2, полученный результат не дает достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: