Основные элементарные функции

Функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 1. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует не более одного элемента у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f. Множество всех таких элементов х Î Х называют областью определения функции f и обозначают D(f) (D(f) ). А элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х). Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f)(Е(f) ).

Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой
х Î D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Определение 2. Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если D(f) = D(g) и f(х) = g(х) для каждого х из D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y.

Если X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y.

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества Х на Y.

Функции, заданные на некотором числовом множестве Х и принимающие числовые значения, называют числовыми функциями числового аргумента.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1) заданы два числовых множества Х и Y;

2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

Способы задания функции.

1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами. Например, функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

2. Табличным способом.

3. Словесный. Пример. Функция f каждому квадрату со стороной а ставит в соответствие его площадь.S(a)=a², a>0.

4. Графами.

5. Графический только для числовых функций числового аргумента.

Определение 3. Графиком функции , заданной на множестве Х, называется множество всех точек плоскости с координатами , где х Î D(f).

Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–нибудь функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Рис. 1 Рис. 2

Кривая на рис. 1 не является графиком функции, а кривая АВ (рис. 2) – является.

Основные свойства функций.

Определение 4.Пусть функция задана на некотором множестве Х. Данная функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Е Ì Х, если для любых х₁ и х₂ из множества Е, таких что х₁ < х₂, выполняется неравенство

.

Иначе: функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Е, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 3).

Рис.3

Если же для любых значений х₁, х₂, взятых из некоторого множества Е Ì Х и удовлетворяющих условию х₁ < х₂, вытекает некоторое неравенство f(х₁) £ f(х₂) (или f(х₁) ³ f(х₂)), то функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Е.

Определение 5.Функция называется четной (нечетной), если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 4. Функция называется периодической, если существует такое число l ¹ 0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Определение 7. Пусть функция определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, а область значений функции есть промежуток Y. Каждому значению у₀ из промежутка Y будет соответствовать одно значение х₀ Î Х такое, что (рис. 4). Следовательно, на промежутке Y определена функция . Функция называется обратной для функции и, наоборот, функция является обратной для функции .

Рис. 4

Переход от функции к обратной функции сводится только к изменению роли множеств Х и Y. Поэтому графики функций и (как множества точек плоскости хОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают через х, а значения функции –– через у, то есть вместо пишут . Графики функции и обратной функции в этом случае будут симметричны относительно прямой у = х (рис. 5).

Рис. 5

Определение 8. Пусть y является функцией переменной u,а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной х, то есть и . Тогда функция называется функцией от функции (или сложной функцией), если область определения функции f содержит множество значений функции j. Переменная и в этом случае называется промежуточной переменной.

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где a –– некоторое действительное число; показательная функция , где а >0, a≠1; логарифмическая функция , где где а >0, a≠1; тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.(Д.з. записать D(f), график )

Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие: степенная функция , где a любое действительное число; показательная функция , где а>0, a≠1; логарифмическая функция , где а>0, a≠1; тригонометрические функции y = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx; обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Степенная функция. Область определения степенной функции зависит от показателя a. Эта функция при любом a определена в интервале 0 < х < +¥, то есть для всех положительных значений х. При a натуральном областью определения является вся числовая ось. Множеством значений функции будет интервал 0 < у < +¥ при a четном и промежуток –¥ < у < +¥ при a нечетном (рис. 6).

Рис. 6

Показательная функция. Областью определения показательной функции является вся числовая ось, то есть промежуток (–¥; + ¥), а множеством значений функции - промежуток (0; + ¥) (рис. 7).

Рис. 7

Логарифмическая функция. Областью определения логарифмической функции является промежуток , а множеством значений функции - промежуток (рис. 8).

Рис. 8

Тригонометрические функции. Областью определения функций y = sinx и y = cosx является промежуток , а множеством значений функций –– отрезок [–1; 1] (рис. 9 и 10).

Рис. 9

Рис. 10

Функция определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции есть совокупность интервалов

.

Функция определена на всей числовой оси, кроме точек , т.е. область определения этой функции состоит из интервалов

.

Множеством значений функций и является промежуток (рис. 11 и 12).

Рис. 11 Рис. 12

Обратные тригонометрические функции. Областью определения функций y = arcsinx и

y = arccosx является отрезок [– 1; 1]. Множеством значений функции y = arcsinx является отрезок , а функции y = arccosx –– отрезок (рис. 13 и 14).

Рис. 13 Рис. 14

Областью определения функций y = arctgx и y = arcсtgx является промежуток . Множеством значений функции y = arctgx будет интервал , а функции y = arcсtgx –– интервал (рис. 15 и 16).

Рис. 15 Рис. 16

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: