Сформулируйте принцип возможных перемещений и докажите его необходимость.

Для равновесия механической системы, на которую наложены голономные, стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, на любом возможном перемещении системы равнялась нулю.

Доказательство необходимости:

Система мат. точек, удовл. принципу возможных перемещений, наход. в равновесии. Докажем, что выполн. равенство: . Если система в равновесии => любая точка системы в равновесии. Сумма активных сил и реакций связи , прилож. к каждой точке системы, должна быть равна нулю: , . Из этого следует, что и работа этих сил на любом возможном перемещении также равна нулю: , .

Просуммирует по k и раскроем скобки: . в силу идеальности связей => . *необходимость доказана*

Сформулируйте принцип возможных перемещений и докажите его достаточность.

Доказательство достаточности:

Выполняется равенство (1). Докажем, что система находиться в равновесии.

От противного: (1) выполняется, но система в равновесии не находиться. Это означает, что система под действием активных сил и сил реакций за малый промежуток времени совершит некоторое действ. перемещ. На этом действ. перемещ. равнодействующая сил и совершит работу, отличную от нуля. Так как система находилась в покое, направл. действ. перемещ. совпадет с направл. равнодействующей сил и => работа будет положительной: , . Просуммируем по k и раскроем скобки: (2). В случае стационарных связей действ. перемещ. совпадают с одним из возможных, то есть . Из (2) получим: . в силу идеальности связей => , что противоречит условию (1). *достаточность доказана*

Докажите условия равновесия механической системы в обобщенных координатах.

На систему из N материальных точек наложены связи, удовл. принципу возможных перемещений. Запишем: (1). Система имеет n степеней свободы => ее положение опред. n обобщ. координатами , а радиус-вектор , k-ой точки: . Возможное перемещ. каждой точки: (2). Подставим (2) в (1): , отсюда получим: (3). Вариации обобщ. координат независимы друг от друга => (3) выполнится, когда все обобщенные силы равны нулю. Условие равновесия голономной системы в обобщ. коорд.: .

Изложите вывод принципа Даламбера–Лагранжа (общего уравнения динамики), сформулируйте его и запишите соответствующие формулы в векторной и аналитической формах.

На голономную систему наложены удерживающие и идеальные связи. Применим к системе принцип Даламбера. Такая система сил, будет удовлетворять условию: , (1).

Зафиксируем время и сообщим точкам возможные перемещ. . Умножим (1) скалярно на и просуммируем по k: . в силу идеальности связей. ; , и окончательно:

При любом движении механической системы с идеальными и удерживающими связями в каждый данный момент сумма возможных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.

В проекциях на декартовы оси координат:

Запишите уравнения Лагранжа II рода. Изложите последовательность действий при решении задач аналитической динамики с помощью уравнений Лагранжа II рода.

, ( )

3N - число координат у N точек системы в пространстве.

s - количество связей, нахоженных на систему.

n=3N-s - число обобщ. координат определяющих положение системы (если связи голономные и удерживающие, то n - количество степеней свободы системы).

1) определить число степеней свободы механической системы и выбрать удобные обобщ. координаты;

2) вычислить Т системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщ. координаты и обобщ. скорости;

3) изобразить действующие на систему активные силы и силы трения, составить выражения для работы этих сил на возможном перемещ. и из этого выражения определить обобщ. силы соотв. выбранным обобщ. координатам;

4) вычислить производные, входящие в уравнения Лагранжа;

5) подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа;

6) найти решения получившихся ДУ, соотв. заданным начальным условиям.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: