Рассмотреть решение задачи о падении тела в сопротивляющейся среде. Как определить критическую скорость падения.

Тело массой m движется вниз без начальной скорости из начала координат О. Ось Ох вертикально вниз. На тело действует сила тяжести , напр. вниз, и сила сопротивления , напр. вверх, тогда ДУ движения тела: . Начальные условия при t = 0: . Разделяем переменные: . Интегрир: - закон изменения скорости. При , . По истечении t движение становиться равномерным, то есть, к постоянной величине: .

Дайте определение механической системы. Центр масс системы. Классификация сил действующих на систему. Запишите дифференциальные уравнения движения системы.

Механической системой материальных точек, или просто системой, в механике называется совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.

Центром масс механической системы называется геометрическая точка С, положение которой относительно выбранной системы координат определяется радиус-вектором .

Центр масс системы - это такая точка, относительно которой статический момент массы равен нулю: .

Силы: заданные силы (выражения которых в зависимости от t, скоростей и координат точек известны) и реакции связи (не известные до исследования системы).

С другой стороны: внешние (силы взаимод. между точками системы и точками, не принадлеж. системе) и внутренние (силы взаимод. между точками, принадлеж. данной системе).

(k = 1, 2, ..., N) система N таких уравнений называется ДУ движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать уравнения на оси координат, то получим 3N ДУ.

Дать определение моментов инерции. Доказать связь между полярным и осевыми моментами инерции. Что такое радиус инерции. Какая ось называется главной центральной осью тела.

- Полярным моментом инерции материальной точки М называется произведение массы m этой точки на квадрат расстояния r до точки О (полюса): .

- Осевым моментом инерции материальной точки М относительно оси Оl называется произведение массы точки m на квадрат расстояние h до оси Оl: .

- Моменты инерции материальной точки относительно декартовых осей: .

Перепишем: (1). Момент инерции точки относительно начала координат равен: , перепишем: (2).

Сложим, левые и правые части (1): . С учётом (2): .

- Точка находиться в плоскости xOy, моменты инерции материальной точки относительно осей х и y равны: . Перепишем: (3). Момент инерции точки относительно начала координат равен: , перепишем: (4). Сложим, левые и правые части (3): . С учётом (4): .

- Момент инерции тела относительно оси Оl: . - радиус инерции тела относительно данной оси: . Радиус инерции - расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить всю m тела, чтобы момент инерции массы был равен моменту инерции тела относительно данной оси.

- Если оба центробежных момента инерции, содерж. в индексах значок некоторой коорд. оси равны нулю, то эта ось - главная осью инерции тела. Например: , то z - главная ось инерции. Если эта ось проходит через центр масс тела, то она называется главной центральной осью инерции.

Доказать формулы для вычисления моментов инерции прямолинейного тонкого стержня и прямоугольной пластины.

СТЕРЖЕНЬ

Стержень массой М - материальный прямолинейный отрезок АВ длиной l. Вычислим момент инерции этого стержня относительно оси Аy АВ. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки . Расстояние от до точки А обозначим , а его массу - .

Тогда: .

Линейная плотность стержня: (кг/м). Масса элементарного отрезка равна: . Стержень однородный, тогда: . Предел этой суммы - определённый интеграл по х в пределах от 0 до l: .

Момент инерции стержня относительно центра масс С вычисляется аналогично. Пределы в этом случае надо брать от . В результате: .

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Тонкая однородная пластина ОАВС со сторонами а и b и массой М. Вычислим момент инерции относительно оси y (стороны ОА). Разобьем площадь ОАВС прямыми, параллельными оси х, на бесконечно узкие полоски. Масса полоски - . Каждая полоска является прямолинейным отрезком, момент инерции которого: .

Момент инерции всего прямоугольника: .

Аналогично относительно оси х: . Для момента инерции ОАВС относительно вершины О на основании связи полярного и осевых моментов, имеем: .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: