Изложить последовательность интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки в случае, когда сила зависит только от координаты точки.

Сформулируйте математическую постановку и изложите решение двух основных задач динамики точки.

Первая: Зная закон движения материальной точки массы m, найти равнодействующую всех сил , действующих на точку в каждый данный момент.

Движение точки задано координатным способом, т.е. (1). Определив проекции ускорения из уравнений (1), запишем ДУ движения точки в проекциях на декартовы оси координат: . Решение сводиться к двукратному дифференцированию закона движения точки. Определив три проекции силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени t.

Вторая: По заданной силе , действующей на материальную точку массы m, требуется определить закон движения точки. Сила и ее проекции могут зависеть от координат, скорости и времени. Запишем ДУ движения точки:

Решение сводиться к интегрированию системы трех ДУ второго порядка. Общее решение этой системы будет содержать 6 произвольных постоянных:

Константы найдём из начальных условий: при .

Вывести закон движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту.

Материальная точка М массой m, брошена с поверхности под углом к горизонту с начальной скоростью . Начальные условия (t = 0): (1).

Единственной силой, является сила тяжести: , направленная вниз. Проекции этой силы на оси координат: . ДУ движения точки: .

Проинтегрируем ДУ движения точки: (2)

Интегрируем еще раз: (3).

Для определения постоянных воспользуемся начальными условиями.

Поставим начальные условия в (2) и в (3):

Подставим постоянные в (3): - закон движения точки.

Доказать необходимое и достаточное условия прямолинейного движения материальной точки и записать дифференциальное уравнение её прямолинейного движения.

ДУ свободной материальной точки в проекциях на декартовы оси координат:

(1)

Точка движется по прямой (ось Ох). Уравнения прямолинейной траектории точки: y = 0, z = 0 (2), следовательно, на основании (1): (3). Равенства (3) означают, что если точка движется прямолинейно, то равнодействующая сил имеет постоянное направление и совпадающее с прямой, вдоль которой движется точка, то есть в осью Ох. Необходимое условие (3) не является достаточным. При условиях (3) уравнения (1) примут вид: . Интегрируем: . Ещё раз: (4). Для опр. постоянных, восп. нач. усл. (t = 0): . Постоянные: . Подставим постоянные в (4): (5). Из (5) видно, что траектория движения точки будет прямой, когда: (6). Из равенств (3) и (6) следует, что свободная точка движется по прямой траектории, когда сила, приложенная к точке, имеет постоянное направление и начальная скорость точки параллельная этому направлению.

- ДУ прямолинейного движения свободной материальной точки.

Изложить последовательность интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки в случае, когда сила зависит только от времени.

Мат. точка массой m движется вдоль оси Ох под действием . ДУ прямолинейного движения: или , где - проекция на ось Ох.

Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Далее заменяя , получаем: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Преобразуем: - закон прямолин. движения точки.

Изложить последовательность интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки в случае, когда сила зависит только от скорости.

- Мат. точка массой m движется вдоль оси Ох под действием . ДУ прямолин. движения: или , где - проекция на ось Ох.

Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Выразим , как функцию t: . Заменяя , получаем: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Преобразуем: - закон прямолинейного движения точки.

- Если после интегрирования нельзя выразить как функцию t, то вводят замену: . ДУ прямолинейного движения: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Выразим , как функцию х: . Заменяя , получаем: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Выразим х, как функцию t: - закон прямолинейного движения точки.

Изложить последовательность интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки в случае, когда сила зависит только от координаты точки.

Исключаем t: . Получим: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Выразим , как функцию х: . Заменяя , получаем: . Разделяем переменные и интегрируем: . Получим: . Выразим х, как функцию t: - закон прямолинейного движения точки.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: