Работы сил, вычисляемые непосредственно по заданным силам и перемещениям.

1. Работа силы тяжести

Для вычисления ее работы используем формулу (3) .

, где может быть положительной и отрицательной, поэтому .

2. Работа центральной силы .

Рассмотрим случай, когда центр (т.О) куда направлена сила совпадает с началом отсчета радиус-вектора . Тогда при по формуле (3) имеем

Чтобы избавиться от символов векторных величин используем равенство и найдем дифференциалы левой и правой частей или , откуда .

Тогда элементарная работа силы

Интегрируя получим .

Сила упругости представляет собой частный случай центральной силы. Пусть она всегда будет направлена по оси X

. Если за начало отсчета принять точку (10), в которой и она совпадет с начальным положением материальной точки, то и - приобретает смысл полной деформации

пружины ( ). Тогда работа силы упругости может быть выражена формулой

. Следует учесть, что x₁ может оказаться x₀ и тогда работа от силы упругости будет положительной.

3. Работа силы гравитации

Величина силы гравитации определяется по формуле . Здесь k – гравитационная постоянная; m₁, m₂ – массы тел; r – кратчайшее расстояние между телами. Принимая во внимание, что сила гравитации направлена всегда противоположно радиус-вектору, запишем ее так .

Проекции этой силы на оси координат ; ; .

Элементарная работа такой силы по формуле (3).

Интегрируя, получим .

Для постоянных сил и моментов пар сил формулы (6) и (8) принимают вид

и .

Необходимо учитывать, что работа силы может быть:

- больше нуля, если направление силы соответствует направлению перемещения, которое и указывается направлением скорости ;

- меньше нуля, если направление силы не соответствует направлению перемещения;

- равно нулю, если сила перпендикулярна к направлению перемещения

Теорема о работе равнодействующей и главного вектора

Равнодействующая и главный вектор системы сил определяются одинаково

(1)

Теорема о работе равнодействующей и главного вектора утверждает, что:

«Работа равнодействующей/главного вектора системы сил равна алгебраической сумме работ всех сил, входящих в эту систему.»

Доказательство

Умножив скалярно левые и правые части векторных равенств на дифференциал ( ) радиус-вектора, определяющего положение точки приложения равнодействующей/центра приведения главного вектора, получим

или , а интегрируя, получим . Аналогично для главного вектора .

Работа и мощность произвольной системы сил, действующих на твердое тело

Пусть на свободное твердое тело действует произвольная система сил . Выберем в теле т.О за полюс. Тогда абсолютная скорость k-ой точки тела

где - угловая скорость вращения тела вокруг мгновенной оси Р, проходящей через полюс т.О; - радиус-вектор определяющий положение k-ой силы.

Сначала найдем мощность одной k-ой силы .

Здесь - момент силы относительно мгновенной оси Р.

Окончательно имеем , откуда находим или

Элементарная работа всех сил, действующих на твердое тело:

или

, где

- главный вектор сил

- проекция главного момента сил системы на ось ρ, происходящей через полюс (центр приведения) т.О. Тогда:

то есть элементарная работа всех сил, действующих на твердое тело, равна сумме элементарных работ главного вектора и проекции главного момента на мгновенную ось вращения (ρ).

Мощность всех сил: .

Если тело двигается поступательно, то ω=0, dφ = ωdt = 0

;

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то выбрав за полюс т.О, лежащую на этой оси, получим: и тогда и ,

где φ-ось вращения тела.

Интегрируя, найдем , а при М_ρ= const,

Если тело движется плоско-параллельно, то

Пример 1.

На тело действует сила F = 4x³, которая направлена по отношению к оси Ох под постоянным углом α = 30^о. Необходимо опредлить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой х₀ = 0 в положение с координатой х₁=1м.

Решение:

Работа переменной силы:

Пример 2.

К барабану «1» приложена пара сил с постоянным моментом М = 10н.м. Цилиндр «2» массой m₂ = 10 кг катится без скольжения по неподвижной шероховатой поверхности. Коэффициент трения качения δ = 0,01 м. Необходимо определить работу всех сил, действующих на эту механическую систему при повороте барабана «1» на N₁ = 10 оборотов.

Решение:

Силы, действующие на данную механическую систему показаны на рисунке:

силы тяжести тел «1» и «2»

М – пара сил,

- момент трения качения, который должен быть направлен противоположно угловой скорости тела «2»,

реакция неподвижной опоры,

- реакция поверхности, направленная по главной нормали к поверхности (N₂=G₂)

сила трения, причем F_тр=f_{тр кач}N₂ не известна по величине.

Направление перемещение указывается скоростями. Чтобы найти соотношения между перемещениями, найдем сначала соотношения между скоростями:

откуда ω₂=ω₁.

Здесь Р_v – мгновенный центр скоростей для тела «2», которое движется плоско-параллельно,

Р_vВ – расстояние от мгновенного центра скоростей Р_v до точки В.

Скорость т.С₂ :

Соотношение между перемещениями точно такие же, как и между скоростями (за исключением случая колебаний). Это легко показать, например:

и интегрируя, получим , таким образом φ₂=φ₁ (т.к. ω₂=ω₁)

Работа всех сил, действующих на механическую систему, равна сумме работ каждой из сил, то есть для данной механической системы:

Работы , так как точка приложения этих сил неподвижная.

, так как перемещение точек приложения этих сил перпендикулярны силам.

Определим чему равна работа силы трения F_тр, приложенной в мгновенном центре скоростей.

(υ_Pv=0 по определению мгновенного центра скоростей)

Работа момента пары сил:

Момент трения: .

Работа от момента трения:

(ускорение земного притяжения g приняли равным 10м/с²)

Таким образом:

Пример 3.

К диску диаметром D=0,2м, который вращается с угловой скоростью ω=100с^-1, прижимаются две колодки с силой F=200Н. Необходимо определить мощность силы трения, если коэффициент трения скольжения тормозных колодок о диск f=0,2.

Решение:

Силы трения между колодками и диком показаны на рисунке. Они направлены противоположно скоростям в точках их приложения и образуют пару сил с моментом:

Так как М_тр=const, мощность этого момента трения определим по формуле:

Знак минус появился из-за того, что М_тр направлен противоположно ω.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: