Из двух отрицательных посылок нельзя сделать вывод.

ПОНЯТИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМЫ И ЛОГИЧЕСКОГО ЗАКОНА

Фундаментальные понятия логики:

Логическая форма языкового контекста - выражение, фиксирующее ту часть содержания контекста, которая остается в результате отвлечения от конкретных содержаний нелогических терминов или же от содержаний простых высказываний, входящих в контекст.

Если каждая из посылок истинна, а заключение ложно, то умозаключение неправильно.

Умозаключение правильно, если при истинных посылках мы получаем истинное заключение.

При выполнении этого условия говорят, что между посылками и заключением имеет место отношение логического следования

Логическое следование - отношение между высказываниями по форме.

Из Г (гамма) логически следует В (бета), если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Г и В при которой все выражения из Г принимают значения «истина», а В принимает значение «ложь».

Логический закон - тождественно истинное высказывание, т.е. это такая логическая форма высказывания, которая принимает значение «истина» при интерпретации параметров, входящих в ее состав.

4. Правильное рассуждение

Рассуждение правильно, если его форма гарантированно предполагает:
Посылки : “и”
Заключение : “и”

Неправильно

Посылки “и”

Заключение “л”

Законы логики обладают особенностью : если любую переменную в них везде, где она встречается, заменить формулой, то в результате снова получится тождественно-истинная формула.

Способы правильных рассуждений:

Условно-категорические :

P ) q p ) q

P 7p
_ __

q 7p

Разделительно-категорические :

Pvq

7p

__

q

pvq
7q

__

p

Условно-разделительные:

Основные законы:

Тождества: A ) A

Исключенного третьего: A строгое или 7A

Противоречия: 7 ( A & 7A )

5. Закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания

Законы логики обладают особенностью : если любую переменную в них везде, где она встречается, заменить формулой, то в результате снова получится тождественно-истинная формула.

Основные законы:

Тождества: A ) A

Исключенного третьего: A строгое или 7A

Закон достаточного основания (противоречия): 7 (A&7A)

6. Язык как знаковая система. Виды языков

Язык - это знаковая система, предназначенная для хранения, обработки, фиксации и передачи информации от одного субъекта другому.

Языки бывают естественные и искусственные.

Например: латынь – естественный язык, а любой язык программирования – язык искусственный.

Знак - объект, являющийся представителем другого объекта, для некоторого интерпретатора.

Основная функция знака – репрезентирует какой-то предмет для некоторого интерпретатора.

Ситуация употребления знака включает в себя три компонента :

1)сам знак 2) предмет, репрезентируемый знаком 3)интерпретатора, использующего знак.

Значением знака называется предмет, представляемый данным знаком.
Смыслом знака называют ту информацию о предмете, которую содержит сам знак.

7. Виды знаков. Смысл и значение знака

Знак - объект, являющийся представителем другого объекта, для некоторого интерпретатора.

Основная функция знака – репрезентирует какой-то предмет для некоторого интерпретатора.

Ситуация употребления знака включает в себя три компонента :

1)сам знак 2) предмет, репрезентируемый знаком 3)интерпретатора, использующего знак.

Значением знака называется предмет, представляемый данным знаком.
Смыслом знака называют ту информацию о предмете, которую содержит сам знак.

Виды знаков:

· Пустые и непустые (репрезентируют предметы, отсутствующие в данной предметной области/наоборот)

· Описательные (не только показывают предмет, но и описывают его свойства) и неописательные (не описывают свойств). Пример: Автор поэмы «Евгений Онегин»; А.С. Пушкин

· По связям между знаком и значением:

знак образ – имеет со значением внешнее сходство (иероглиф)

знак индекс – между знаком и значением существует причинно-следственная связь (дым - знак, огонь - значение)
знак символ – связь между знаком и его значением конвенциональная, т.е. согласована, применимо к соглашению (буквы, цифры, слова)

8. Классическая логика высказываний: язык

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно однозначно утверждать, что оно истинное или ложное.

Классическая логика высказываний – это логическая теория, содержащая один тип нелогических символов (пропозициональные переменные) и один тип логических символов (пропозициональные связки).

(нелогические символы) Пропозициональные переменные – p q r s

Пропозициональные связки – образуют из одной или нескольких формул новую формулу, их прототипы в естественном языке (и) (или) (если, то)

Отрицание – унарная связка.

Конъюнкция - &

Дизъюнкция – V

Строгая дизъюнкция

Импликация

Эквиваленция – (сти палки) тогда и только тогда

Выражение языка – любая последовательность знаков его алфавита.

1.Всякая пропозициональная переменная явл. Формулой

2. если А формула, то 7А тоже формула

3. если А и В –формулы, то выражения F&B, AVB, A ) B тоже

4 ничто иное не формула

9. Таблицы истинности, функции истинности

Таблица истинности - это таблица, описывающая логическую функцию,у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. С помощью таблиц истинности можно определять истинностное значение любого высказывания для всех возможных случаев значений истинности составляющих его высказываний.

Алгоритм построения:

1. Выделить все пропозициональные переменные, входящие в состав выражения А

2. Выделить в составе формулы все подформулы

3. Выписать все исходные значения для переменных

Таблица истинности:

P	q	┐p	┐q	P&q	pVq	p q	p q	p q

p, q, r, s… - обозначения простых высказываний. (Односоставные предложения)

Для построения таблицы истинности мы должны использовать сложное предложение, в котором все высказывания объединены различными языковыми связками. Построив таблицу истинности, мы должны рассмотреть столбец с последней связкой.

· Если в столбце все 1,то формула называется тождественно истинной или логическим законом

· Если в столбце все 0, то формула называется тождественно ложной

· Если есть 1 и 0,то формула называется опровержимой

· Если есть хотя бы одна 1,то формула называется выполнимой

· Если есть хотя бы один 0,то формула называется опровержимой

Придать значение пропозициональной связке – сопоставить ей определенную функцию истинности.

10. Виды формул, отношения между формулами

Типы формул:

Тождественно-истинная : в результирующем столбце везде “и”

Тождественно ложная : в результирующем столбце везде “л”

Непротиворечивая – есть и “и” и “л”

Виды высказываний

Логически истинно – во всех строках таблицы формула имеет значение “и”

Логически ложно
Логически недетерминировано

1 Совместивные по истинности- если в таблице истинности есть такая строка, где высказывание принимает значение истина (1) одновременно

2 совместивные по ложности- если в таблице истинности высказывания в строчке принимает значение ложь (0) одновременно

3 Логическое следование (подчинение)- из множества формул Г (гамма) логически следует формула В, ете, в их совместной таблице истинности не существует такой строки, в которой все формулы из Г- истинны, а формула В – ложна.

11. Основные законы и способы правильных рассуждений классической логики высказываний

Рассуждение правильно, если его форма гарантированно предполагает:
Посылки : “и”
Заключение : “и”

Неправильно

Посылки “и”

Заключение “л”

Законы логики обладают особенностью : если любую переменную в них везде, где она встречается, заменить формулой, то в результате снова получится тождественно-истинная формула.

Способы правильных рассуждений:

Условно-категорические :

P ) q p ) q

P 7p
_ __

q 7p

Разделительно-категорические :

Pvq

7p

__

q

pvq
7q

__

p

Условно-разделительные:

Основные законы:

Тождества: A ) A

Исключенного третьего: A строгое или 7A

Противоречия: 7 ( A & 7A )

12. Вывод и доказательство в классическом исчислении высказываний

13. Виды рассуждений:

14. *выводы

15. *доказательства

16. Вывод- непустая и неконечная последовательность операций С1, С2, Ск (1) в которой каждое С либо является посылкой, либо возникает из предыдущих строк по одному из правил вывода

17. Правила вывода: * правила введения, * правила исключения

18. Язык классического исчисления высказываний совпадает с языком КЛВ

19. (2) если в выводе применяются В или ┐В, то все формулы начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила исключаются из участия в дальнейших шагах вывода.

20. Доказательство- вывод из пустого множества посылок. Последняя формула в доказательстве называется доказуемой формулой или теоремой.

21. Эвристики – способ найти правильное допущение при доказательстве

22. 1 эвристика: если А В, то А в качестве допущения, а цель вывода В

23. 2 эвристика: Рассуждение от противного А ,┐А – допущение, цель

24. 3 эвристика: Если А В, то ┐А – посылка, затем В, исключение

21. Понятие как форма мышления и его основные виды

Понятие - мысль, которая выделяет на основания некоторого признака все предметы из универсума, которые обладают этим признаком, и собирает и в класс.

Основные характеристики понятия:

Обьем - множество предметов, выделяющиеся из универсума на основе некоторого признака.

Содержание понятия - совокупность существенных признаков предмета, которая мыслится в данном понятии.

1) По объему:

Пустыми называются понятия, которым не соответствует ни один предмет в объективном мире.

Например, «вечный двигатель».

Непустыми являются понятия, соответствующие каким-либо предметам действительности;

Например: «Млечный путь».

2) По содержанию:

Положительные - понятия, в содержании которых выражается наличие каких-либо свойств у предмета.

Отрицательные - понятия, в содержании которых указывается на отсутствие у предмета каких-либо свойств. Выражаются словам с отрицательными частицами не и без. В случаях же, когда отрицательная частица слилась со словом и без него не употребляется, эти понятия переходят в разряд положительных (безделушка, негодование).

3) По типу обобщения предметов:

Собирательные - понятия, в которых мыслятся признаки некоторой совокупности элементов, составляющих единое целое (коллектив, полк, созвездие). Содержание собирательного понятия нельзя отнести к каждому отдельному элементу, входящему в его объем, оно относится ко всей совокупности элементов (коллектив — группа лиц, объединенных общим делом; неприложимо к каждому отдельному члену коллектива).

Несобирательные - понятия, в которых мыслятся признаки, относящиеся к каждому его элементу (звезда, командир полка).

Конкретные - мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее (книга, свидетель, государство);

Абстрактные - мыслится признак предмета или отношение между предметами (смелость, ответственность, вечность). Образуются в результате отвлечения, абстрагирования определенного признака предмета. Посредник - общее, конкретное понятие; посредничество - общее, абстрактное. ООН - единичное, конкретно.

23. Виды отношений между понятиями

Сравнимые - имеют некоторые признаки, позволяющие эти понятия сравнивать друг с другом (пресса и телевидение — СМИ).

Несравнимые - не имеют общих признаков, сравнивать невозможно (преступление, квадрат).

В логических отношениях могут находиться только сравнимые понятия.

Совместимые - понятия, объемы которых полностью или частично совпадают. Отношения совместимости:

1. Равнообъемность - понятия, в которых мыслится один и тот же предмет, объемы их полностью совпадают (хотя содержание различно): геометрическая фигура с тремя равными сторонами (А), геометрическая фигура с тремя равными углами (В) → равносторонний (равноугольный) треугольник.

2. Пересечение (перекрещивание) - понятия, объем одного из которых частично входит в объем другого; содержание их различно (юрист (А) и преподаватель (В)).

3. Подчинение (субординация) - понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого, составляя его часть (Суд (А — подчиняющее понятие — род) и Городской суд (В — подчиненное понятие — вид). Если в отношении подчинения находятся два общих понятия, то подчиняющее — вид; подчиненное — род. Если в отношении подчинения находятся общее и единичное (индивидуальное) понятие, то общее (подчиняющее) — вид, а единичное (подчиненное) — индивид (адвокат и Вася Иванов).

Несовместимые - понятия, объемы которых не совпадают ни полностью, ни частично. Отношения несовместимости:

1. Соподчинение (координация) - два или больше неперекрещивающихся понятий, подчиненных общему для них понятию (Областной Суд (В), Городской Суд ©, Суд (А). понятия, находящиеся в отношении подчинения к общему для них понятию — соподчиненные).

2. Противоположность (контрарность) - понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое — признаки, не совместимые с ними; объемы двух противоположных понятий составляют лишь часть объема общего для них родового понятия (дружественное государство (А) и враждебное государство (В); пунктиром изображено родовое понятие «государство»; черное и белое).

3. Противоречие (контрадикторность) - понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое эти же признаки исключает; объемы двух противоречащих понятий составляют весь объем рода (дружественное государство (А — положительное понятие) и недружественное государство (не-А — отрицательное понятие) исчерпывают весь объем понятия «государство»).

Пример: Определите вид отношения между понятиями "каменный дом", "недостроенный дом", "дом", "строение", "гараж".

Самое большое по объему среди названных понятий - строение. Это будет самый большой круг. Все остальные понятия находятся в отношении подчинения у этого понятия и рисуются кругами внутри этого большого круга.
Теперь давайте разберемся, как будут располагаться круги внутри. Понятия каменный дом и недостроенный дом находятся в отношении подчинения не только у понятия "строение", но и у понятия дом. Между собой эти два понятия находятся в отношении пересечения, поэтому рисуем так: два пересекающихся круга внутри понятия "дом".
Осталось понятие гараж. Это понятие связано только с понятием "строение" - также находится в отношении подчинения. Поэтому просто крун внутри понятия "строения", который никаким образом не должен задевать другие круги.

25. Операции с понятиями: обобщение, ограничение, деление

Обобщение понятия-это логическая операция, которая состоит в переходе от понятия с меньшим объемом (большим содержанием) к понятию с большим объемом (но меньшим содержанием). Обобщение понятий - это переход от вида к роду.

Например, обобщая понятия «министерство юстиции России» - к понятию «министерство юстиции». Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания исходного понятия какого-либо индивидуального, видового, признака.

Ограничение понятия-логическая операция, которая состоит в переходе от понятия с большим объемом (и меньшим содержанием) к понятию с меньшим объемом (но с большим содержанием). В процессе ограничения происходит переход от родовых понятий к видовым. Достигается это путем добавления к содержанию исходного понятия какого-либо нового признака.

Например, понятие «юрист» можно ограничить, добавив признаки о специфике профессиональной деятельности юриста, например, «быть следователем» - получится понятие «следователь»; добавив признак «быть следователем прокуратуры», можно получить понятие «следователь прокуратуры» и т. д.

Делениепонятий -это логическая операция, раскрывающая объем понятия. В процессе деления объем понятия распределяется на группы.

Элементами деления являются: делимое -понятие, объем которого требуется раскрыть; члены деления -соподчиненные виды, на которые делится понятие; основание деления -признак, по которому производится деление.

Например, учеников в школе можно разделить на классы, в классах - на

группы по различным признакам: спортсмены и неспортсмены; изучающие английский язык, немецкий и французский языки и т. п. Сделки (соглашения) можно разделить на многосторонние, двусторонние и односторонние.

26. Понятие логического квадрата, непосредственные умозаключения и их виды

Логический квадрат - схема, выражающая отношения с т. зр. истинности и ложности между общеутвердительным, общеотрицательным, частноутвердительным и частноотрицательным суждениями традиц. логики, имеющими один и тот же субъект и один и тот же предикат.

Непосредственными умозаключениями называются умозаключения, представляющие собой некоторое преобразование одного простого категорического суждения. Это умозаключения из одной посылки.

Виды непосредственных умозаключений:

Превращение (SAP->SE-P) - разновидность непосредственного умозаключения, в котором изменяется качество посылки без изменения ее количества. Оно осуществляется двумя способами:

а) путем двойного отрицания, которое ставится перед связкой и перед предикатом: S есть P; S не есть не P

б) путем перевода отрицания из предиката в связку: S есть не P; S не есть P

Обращение (SAP->PIS) - непосредственное умозаключение, в котором происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

Пример:

Все адвокаты - юристы \ Все S суть Р

Некоторые юристы - адвокаты \ Некоторые Р суть S

Противопоставление предикату(SAP->SE-P->PES) - это последовательное применение операций превращения и обращения - преобразование суждения в новое суждение, в котором субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом - субъект исходного суждения; меняется качество суждения.

Пример: из суждения «Все адвокаты - юристы» можно, противопоставляя предикат, получить «Ни один не-юрист не является адвокатом». Схематически:

Все S суть Р.

Ни одно не Р не есть S.

Противопоставление субъекту (SAP->PIS->PO-S) - это преобразование категорического суждения, в результате которого субъектом становится предикат исходного суждения, а предикатом - понятие, противоречащее субъекту исходного суждения.

27. Простой категорический силлогизм. Фигуры и модусы

Категорический силлогизм –вид дедуктивного умозаключения, в котором из двух истинных категорических суждений, связанных средним термином, при соблюдении правил вывода необходимо следует заключение.

Понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. В простом категорическом силлогизме только 3 термина:

больший термин (Р) – предикат заключения;

меньший термин (S) – субъект заключения;

средний термин (М) – связывает в посылках Р и S, в заключении отсутствует.

Структуру простого категорического силлогизма составляют две посылки и заключение. Посылка, содержащая больший термин (Р), называется большей посылкой; посылка, содержащая меньший термин (S) – меньшей посылкой.

Все жидкости (М) – упруги (Р) – большая посылка

Ртуть (S) – жидкость (М) – меньшая посылка

Ртуть (S) – упруга (Р) – заключение

Модус силлогизма - множество силлогизмов, имеющих структуру которая определяется типами высказываний, входящих в ее состав.

Правильные модусы - такие, для которых между посылками и заключениями существует отношение логического следования.

28. Правила терминов и посылок в простом категорическом силлогизме

1. В каждом силлогизме должно быть только три термина – большой, меньший и средний.

2. Средний термин должен быть распределен, то есть взят в полном объеме, хотя бы в одной из посылок. Для этого он должен быть или субъектом общего суждения, или предикатом отрицательного суждения.

3.Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении. Из общих суждений-посылок: «Все птицы летают с помощью крыльев» и «Все птицы – теплокровные животные» нельзя получить в качестве вывода общее суждение. Меньший термин «теплокровные животные» стоит на месте предиката в утвердительной посылке и поэтому не распределен. Следовательно, в выводе его нужно брать не в полном объеме.

4.Из двух частных посылок невозможно сделать вывод. В этом случае нельзя установить объемные отношения между терминами силлогизма, поэтому определенный вывод не получается. Например, из посылок: «Некоторые члены Академии наук - химики» и «Некоторые биологи – члены Академии наук» никакой определенный вывод не следует. Объем субъекта («некоторые биологи») может перекрещиваться в какой-то мере с объемом предиката («химики»), но может находиться и вне его

5.Если одна посылка частная, то вывод будет частным.

Из посылок: «Все участники кросса - спортсмены» и «Некоторые студенты-отличники – участники кросса» общий вывод невозможен. Нельзя утверждать, что все студенты-отличники – спортсмены, так как речь идет только о части объема меньшего термина.

Из двух отрицательных посылок нельзя сделать вывод.

В этом случае все термины исключают друг друга, устраняя всякую объемную взаимосвязь между ними. Из посылок: «Ни одна планета не светит собственным светом» и «Искусственный спутник не есть планета» - никакого вывода не следует.

7. Если одна посылка отрицательная, то вывод будет отрицательным. Например: «Всякое пребывание на свежем воздухе полезно. Пребывание на свежем воздухе при низкой температуре опасно. Следовательно, пребывание на свежем воздухе при низкой температуре может принести вред здоровью».

28. Условно-категорический и разделительно-категорический силлогизмы.

Силлогизм - логическое заключение, сделанное из двух посылок ◆ Возьмём два факта: «Сократ — человек» и «Все люди смертны». Силлогизмом этих двух фактов будет «Сократ смертен».

Условные силлогизмы – такие силлогизмы, в которых либо одна, либо обе посылки – условные суждения. Схема условного силлогизма, в котором обе посылки – условные суждения:

Пример:

Условно-категорическими силлогизмами называют такие умозаключения, одна из посылок которых является условным суждением, а другая – суждением категорическим.

Этот силлогизм имеет два правильных модуса: утверждающий и отрицающий.

1. Утверждающий модус (modus ponens) выражается формулой:

P Q Если идет дождь, прохожие раскрывают зонты

P Идет дождь

Q Прохожие раскрывают зонты

2. Отрицательный модус (modus tollens):

P Q Если на улице светит солнце, то предметы отбрасывают тень

┐Q Предметы не отбрасывают тень

┐P На улице не солнечно

Разделительно-категорический силлогизм -умозаключение, в котором одна посылка является разделительным суждением, а вторая посылка и вывод – простыми категорическими суждениями.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: