|
|
Система нормальных уравнений и явный вид её решения при оценивании методом наименьших квадратов (МНК) линейной модели парной регрессии (на примере модели Оукена).Системой линейный нормальных уравнений называется следующая система алгебраических уравнений:
Модель Оукена: t=1,2,... где xt - темп прироста безработицы в году t, yt - темп роста ВВП. Обозначения:
Системой нормальных уравнений данной системы называется следующая система линейных уравнений (для данной модели
Для ЛМПР (в частности, модели Оукена) система нормальных уравнений (27.1) имеет следующий вид:
Предыдущая форма приводится к следующей системе:
28. Ковариационная матрица оценок коэффициентов линейной модели парной регрессии: явные выражения Рассмотрим следующую ЛМПР:
Соответственно:
Матрица
Вывод формул (для романтиков):
Выведем
далее:
Выведем
Выведем
Осталось только подставить их в формулы: Ч.Т.Д.
29.Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: независимость случайных векторов Рассмотрим с учётом схемы Гаусса-Маркова в компактной форме
Видно, что вектор
Значит, и вектор Теперь рассмотрим вектор
Подставим в это выражение (1)
или в компактной записи Согласно (2) вектор
Для доказательства независимости нормально распределенных случайных величин
30.Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределение оценки (Внимание: нумерация формул идёт не по порядку) Так как вектор случайных остатков имеет нормальный закон распределения, то и нормально распределённым будет случайный вектор
Образуем из этих компонент независимые стандартные нормально распределённые случайные переменные Рассмотрим величину Начнем с оценки вектора случайных остатков Представим этот вектор как выход линейного преобразования вектора
Здесь приняли обозначение Теперь, в правую часть предпоследнего равенства подставляем правую часть
В компактном виде получаем С учетом 8,81 находим значение квадратичной формы
С учётом (8.82) и (8.86) получим
С учётом (8.89) и (8.90) получим:
Это значит, что при нормально распределённом векторе случайных остатков в схеме Гаусса-Маркова квадратичная форма (8.91) является случайной переменной, распределённой (с точностью до множителя В силу (8.92) оценка дисперсии единицы веса тоже имеет с точностью до множителя закон распределения хи-квадрат с количеством степеней свободы n-(k+1):
31. Свойства МНК-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (ЛММР) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределения дроби
имеет закон распределения Стьюдента с количеством степеней свободы n-(k+1), т.е.
Доказательство. Разделим числитель и знаменатель дроби (8.107) на константу Учитывая
Здесь символом
С учётом (7.47) и (8.109) получим представление (8.108)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
, где 
- матрица весов (матрица 
- матрица обратных весов или весовых коэффициентов).
, 
, 
, 
- число уравнений наблюдений.
):
, где 
, 
(27.1)
, решая данную систему методом Гаусса, получаем явный вид её решения:
- будет лучше, если вы её проверите. Для удобства можно перейти к средним величинам, тогда формулы приобретают вид:
, обратите внимание на разницу в записи 
и 
.
.
, 
. Используя исходные определения, получаем:
, 
. Таким образом, справедливы равенства:
;
;
.
, соответственно
.
:
, что преобразовываем как:
,
.
:
, знаменатель 
равен 
(см. предыдущ.), получаем 
.
:
, 
и 
.
и 
случайный вектор истинной ошибки оценки 
: (1)
или в компактном виде 
является выходом линейного преобразования вектора 
. Следовательно, вектор 
имеет нормальный закон распределения с числовыми характеристиками
.
является нормально распределённым случайным вектором с числовыми характеристиками 
.
(2)
необходимо и достаточно доказать, что эти векторы некоррелированны, т.е. что их взаимная ковариационная матрица нулевая: 
.
. (8.86) Компоненты этого вектора имеют количественные характеристики
(8.90)
( 
- это эффективная линейная несмещенная оценка, обладающая свойством наименьших квадратов), она зависит от выборки 
, а значит, является случайной переменной.
(8,79)
. Для этого подставим в правую часть 8,79 правую часть 
и приведем подобные члены:
и, раскрывая скобки, получаем искомое преобразование:
(8,81)
(8.81’)
( 
)
(8.82)
(8.89)
(8.91)
) по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы К+1. Ч учётом этого утверждения, находим, что 
(8.92)
.
- стандартная ошибка (оценка среднего квадратического отклонения) компоненты 
. Докажем, что случайная переменная 
(8.107)
(8.108)
.
(8.109)
обозначена стандартная нормально распределённая случайная переменная.
- дробь Стьюдента с n степенями свободы (7.47)