Моделирование сезонной составляющей при помощи фиктивных переменных.

Сезонная составляющая - некоторая периодическая функция времени с периодом в один год.

Рассмотрим популярную в эконометрике периодическую функцию дискретного времени с периодом τ.

Уравнение этой функции: S(t+τ)=S(t)

S(t)= (t)+ (t)+…+ (t) (*)

,… - коэффициенты

(t),…, (t)-функции времени, которые в данной ситуации имеют смысл индикаторов сезонов (конкретно кварталов) и служат примером фиктивных переменных (переменные, значения которых выбираются исследователями по договоренности)

Поясним смысл этих переменных на примере квартальных данных(когда τ=4).

d₁={1- для первого квартала, 0- для других кварталов};

d₂={1- для второго квартала, 0 - для других кварталов};

d₃={1- для третьего квартала, 0 - для других кварталов}

При помощи модели (*) можно моделировать не только сезонную составляющую, но и влияние на соответствующую эндогенную переменную качественного фактора, который способен находиться в одном из τ состояний. Состояние этого фактора, при котором все фиктивные переменные равны 0 называется базовым.(В нашем примере- это четвертый квартал года )

Регрессионная зависимость случайных переменных. Функция регрессии, стандартные модели функции регрессии.

Модели, в состав которых входят случайные возмущения, отражающие воздействие на эндогенные переменные неучтенных факторов принято называть эконометрическими (регрессионными).

В общем случае структурная форма эконометрической модели имеет вид:

F( , )=

Структурная форма:

А =

Приведенная форма модели в общем случае имеет вид:

Этапы построения эконометрических моделей:

1.Спецификация модели

2.Сбор и проверка статистической информации

3.Оценивание модели

4.Проверка адекватности

ЛММР

Объясняющие переменные в общем случае не зависят от случайного остатка . Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.

Схема Гаусса–Маркова (на примере модели Оукена).

Модель Оукена:

t=1,2,...

где w_t - темп прироста безработицы в году t,

y_t - темп роста ВВП

Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:

, причём

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова ( ). Вот компактная запись этой схемы

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной w_t модели, расширенная столбцом единиц;

– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f(· , ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной w_t

Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные статистические процедуры. Требования к наилучшей статистической процедуре.

Пусть имеется выборка

значений переменных x и y модели

Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели

В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛОУ:

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы .

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a₀);

Наконец, – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

где f(· , ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной х_t.

Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора обозначим символом F.

Наилучшая процедура f*(· , ·) из выбранного класса процедур F должна генерировать оценку , которая обладает одновременно двумя свойствами: ожидаемая оценка параметра совпадает с истинным значением

, i=0,1 (эффективности).

21. Теорема Гаусса-Маркова: выражение вектора оценок коэффициентов и доказательство их несмещённости.

Если справедливы все предпосылки теорему Гаусса-Маркова, тогда имеет место утверждение А: – оптимальная линейная процедура оценивания коэффициентов функции регрессии. Докажем, что имеет место свойство несмещенности оценок коэффициентов, то есть .

Доказательство: Шаг 1. .

Шаг 2. , ч.т.д.

22. Теорема Гаусса-Маркова: выражение Cov( , ) и его обоснование.

Одним из утверждений Гаусса-Маркова является утверждение D:

, где – диагональный элемент матрицы . В матричном виде можно представить так (так показано в учебнике) .

Обоснование. Пусть выполнены все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова. Тогда ковариационная матрица вектора случайных остатков в уравнениях наблюдений является диагональной и конкретно скалярной: где I – единичная матрица. Теперь обратимся к утверждению А теоремы Гаусса-Маркова: .

Видим, что оценки коэффициентов модели являются линейным преобразованием вектора . . Это значит, что мы можем воспользоваться теоремой Фишера при расчете ковариационной матрицы: , где .

Из вида вектора следует, что его ковариационная матрица совпадает с ковариационной матрицей вектора . С учетом вида матрица А и выполненных действий, мы пришли к исходному виду ковариационной матрицы вектора .

23. Теорема Гаусса-Маркова: предпосылки и свойство наименьших квадратов -> min.

Рассмотрим уравнения наблюдений вида .

Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова для данных уравнений:
0. Столбцы Х линейно независимы, т. е. матрица Х является невырожденной.

1. Ожидаемые значения случайных возмущений равны нулю: E(u1)=…=E(un)=0.

2. Дисперсии случайных остатков одинаковые и не зависят от объясняющих переменных: Var(u1)=…=Var(un)= .

3. Случайные остатки в уравнениях наблюдений попарно некоррелированы:
Cov(ui,uj)=0.

4. Значения объясняющих переменных не коррелированы со значениями случайных возмущений: Cov(xij,ui)=0.

Тогда выполняются необходимые утверждения (не все, только те, которые требуются в вопросе):

А: – оптимальная линейная процедура оценивания коэффициентов функции регрессии.

С. Оценки, вычисленные в А, обладают замечательным свойством наименьших квадратов, то есть . Именно это свойство является причиной общепринятого названия процедуры А – МНК.

24. Теорема Гаусса-Маркова: выражение .

Представим ситуацию, когда предпосылка 2 теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка не выполнена, то есть дисперсия зависит от объясняющих переменных, а остаток гетероскедастичен. В таком случае оценки параметров модели утрачивают свое свойство оптимальности (свойство минимальных дисперсий). Для построения оптимальной процедуры оценивания модели с гетероскедастичным остатком потребуется модель гетероскедастичности остатка, вот простейший вид такой модели: .

В этой модели присутствуют две константы – положительная константа и показатель степени λ. Параметр λ подбирается в итоге проведения теста Голдфилда-Квандта из множества значений ±0,5, ±1, ±2 так, чтобы тест Голдфилда-Квандта просигнализировал о гомоскедастичности остатка в преобразованной ЛММР. (Заметим, что если остаток λ=0, то остаток в модели гомоскедастичен и константа будет иметь смысл дисперсии случайного остатка). Весом случайной переменной u называется дробь, в числителе которой расположена произвольная положительная константа ( ), а в знаменателе – дисперсия случайной переменной u ( ). .

Если в модели веса воспользоваться моделью гетероскедастичности, то вес случайного остатка будет вычисляться по вышеуказанному правилу.

В выражении веса константа имеет смысл дисперсии случайного остатка, вес которого равен единице. Такой остаток называют единицей веса.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: