Экспертный метод принятия решений (МАИ)

Зарождение широко известного Метода Анализа Иерархий (МАИ) относят к 1971 – 1972 г.г. Разработка этого метода T. Saaty проводилась в рамках работ для Министерства обороны США и ряда других ведомств. За прошедшее время метод нашел множество применений. Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ.

Метод анализа иерархий используется при решении многокритериальных задач, включающих как количественные, так и качественные факторы. Т.о. в общем случае он относится к классу экспертных методов.

МАИ имеет нескольких этапов.

Этап 1.Определяется цель(например,выбор наилучшего…);Этап 2.Строим иерархию.Она представляет собой граф,который включает:

a) главную цель сравнения альтернатив;

b) набор групп однотипных критериев, влияющих на рейтинг;

c) набор однотипных альтернатив;

d) множество направленных связей, указывающих на влияния альтернатив, цели и критериев друг на друга.

Рис. 18 Этап 3.Оцениваем относительные приоритеты критериев и альтернатив методом парных сравнений.В

методе анализа иерархий элементы сравниваются попарно по отношению к их влиянию на общую для них характеристику.

Сравнивая набор критериев друг с другом, получим следующую матрицу (матрицу парных суждений, которая содержит оценки или суждения об относительной важности):

Эта матрица обратно симметрическая, т.е. имеет место свойство aij=1/aji (aij – превосходство i-го элемента над j-м.), где индексы i и j - номер строки и номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значимость, так что на пересечение строки и столбца с одинаковыми номерами заносим единицу. Поэтому главная диагональ должна состоять из единиц.

Матрица составляется для попарного сравнения критериев на втором уровне по отношению к общей цели, расположенной на первом уровне. Такие же матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня и т.д., если количество уровней больше трех. Для удобства матрицы представляются таблицами. В левом верхнем углу такой таблицы записывается цель (или критерий), по отношению к которым будет проводиться сравнение, и далее необходимо перечислить слева и вверху сравниваемые элементы. Пример приведен на рис.

К3 А1 А2 А2

А1

А2

А3

Рис.19 Метод анализа иерархий одинаково пригоден как при сравнении факторов, по которым возможно их

количественное сравнение, так и при сравнении факторов, по которым возможны только субъективные качественные суждения. Для проведения субъективных парных сравнений в методе анализа иерархий разработана шкала, представленная в таблице 5. При этом для сравнения элементов i и j задаются вопросами:

• при сравнении критериев обычно – какой из критериев более важен?

• при сравнении альтернатив по отношению к критерию, - какая из альтернатив более желательна?

• при сравнении сценариев, получаемых из критериев, - какой из сценариев более вероятен? Таблице 5. Шкала относительной важности

Когда в решении задачи принятия решений участвуют несколько человек (группа), по многим суждениям могут происходить споры. Иногда группа принимает геометрическое среднее разных оценок в качестве общей оценки суждений:

^~х_геом = ⁿ x₁⋅ x₂⋅L⋅ x_n .

Логичность средней геометрической становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

Этап 4.Для определения локального приоритета каждого элемента(критерия,альтернативы)по матрицепарных сравнений ищется собственный вектор этой матрицы, соответствующий максимальному собственному числу. После нормировки такой вектор называют вектором (локальных) приоритетов.

Покажем, почему для представления приоритетов выбран собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению. Допустим, что сравнения основаны на точных измерениях, т.е. веса альтернатив w1, …,wn точно известны. По ним мы можем сформировать матрицу парных сравнений:

Отсюда получаем обратную симметричность

Такую матрицу (с транзитивностью) называют согласованной. Поскольку

a_ij ^wj =1

w_i

то

т.е. w – собственный вектор матрицы А с собственным значением n. Известно следующее. Для согласованной обратно симметрической матрицы максимальное собственное число равно ее порядку n.

Для приближенного определения относительных приоритетов можно найти геометрическое среднее и с этой целью перемножить n элементов каждой строки и из полученного результата извлечь корни n-й степени.

w_i = ⁿ a_i1⋅a_{i 2}⋅...⋅a_in

Так как желательно иметь нормализованное решение, слегка изменим w, полагая

n

α =∑w_i

i=1

и заменяя w на (1/α )w . Это обеспечивает единственность, а также то, что

n

∑w_i =1

i=1

Этап 5.Проверяем согласованность локальных приоритетов.Известен следующий факт:если Аположительная обратно-симметричная матрица, то при малых изменениях aij собственные значения

приоритетов w, затем делят компоненты полученного вектора покомпонентно на вектор приоритетов и в качестве λ_max берут среднее значение частного.

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали СИ для матриц порядка от 1 до 15. Средние СИ увеличиваются с увеличением порядка матрицы. Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка).

Таблица 6.

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности

(ОС):

ОС = _СИ^ИС.

Значение ОС, меньшее или равное 0,1, считается приемлемым. Когда данный предел нарушается, необходимо пересмотреть соответствующую матрицу парных сравнений.

Примечание. Если доступны объективные количественные измерения,то построенная по ним матрицапарных сравнений будет «автоматически» согласованной.

Этап 6.Проводим иерархический синтез проблемы.Для определения приоритетов альтернативнеобходимо локальные приоритеты умножить на приоритет соответствующего критерия на высшем уровне и найти суммы по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент.

Обозначим через w3k - вектор приоритетов k-й матрицы, расположенной на третьем уровне; w3ki - i-й элемент вектора приоритетов k-й матрицы суждений, расположенной на третьем уровне; w2k-k-й элемент вектора приоритетов матрицы суждений, расположенной на втором уровне; qj - приоритет j-го элемента третьего уровня. Тогда приоритет j-го элемента третьего уровня определяется как

q1 = w311·w21 + w321 ·w22 + w331·w23 + . . . + w3n1·w2n

q2 = w312·w21 + w322 ·w22 + w332·w23 + . . . + w3n2·w2n q3 = w313·w21 + w323· w22 + w333·w23 + . . . + w3n3·w2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

qn = w31n·w21 + w32n·w22 + w33n·w23 + . . . + w3nn·w2n

Пример. Мы рассмотрим небольшой пример,иллюстрирующий возможный подход к выбору ОСРВ наоснове МАИ. Итак, иерархия строится с вершины – цели анализа (в нашем случае это – операционная система, которую надо выбрать), через промежуточные уровни (критерии, по которым производится сравнение вариантов) к нижнему уровню (который является перечислением альтернатив) . Пример возможной иерархии для выбора одной операционной системы из трех представлен на рисунке 1.

Рис.1. Иерархия для выбора операционной системы Какие можно использовать критерии выбора операционной системы? Навскидку можно назвать:

стоимость инструментальных средств разработки (как программных, так и аппаратных), размер лицензионных отчислений при тиражировании готового изделия, стоимость технического сопровождения, совокупная зарплата команды разработчиков при разработке и отладке изделия, стоимость процедуры тиражирования изделия, способность системы обеспечить распределенную обработку информации, поддержка режима жесткого реального времени, наличие средств защиты информации от несанкционированного доступа, гибкость и масштабируемость системы, поддержка многопроцессорности, поддержка аппаратных графических ускорителей и т.д. Для ряда предприятий важным критерием выбора являются возможность и стоимость выполнения заказных разработок дополнительных компонент операционной системы (например, драйверов к специфичной аппаратуре собственного производства). Можно назвать и другие критерии – лицензионная и патентная чистота операционной системы, технологическая независимость от поставщика системного программного обеспечения (т.е. возможность быстрого перехода на новую платформу с максимальным сохранением кадров и сделанных наработок). Разумеется, приведенные критерии с одной стороны, необязательны, а с другой – не исчерпывающие.

А теперь проиллюстрируем МАИ на наглядном примере. Пусть имеется три операционные системы ОС-1, ОС-2 и ОС-3. И пусть некое предприятие выбирает для проектируемых изделий операционную систему. Зададим критерии оценки:

А1 – стоимость инструментальных средств; А2 – доступность заказных разработок;

А3 – поддержка режима жесткого реального времени (режим работы системы, при котором нарушение временных ограничений равнозначно отказу системы); А4 – наличие обученного персонала.

Допустим, что после обсуждений эксперты предприятия указали относительные оценки заданных критериев. На предприятии получилась следующая таблица.

Таблица 7. Относительные веса критериев для предприятия

Σ = 6,636

Следующим шагом выполняется сравнение операционных систем по каждому критерию отдельно. Данные об операционных системах по перечисленным выше критериям представлены в таблице 4. Таблица 8. Данные об операционных системах

Аналогично системы оцениваются по остальным критериям. Результаты оценок операционных систем по всем критериям поместим в таблице 6.

Таблица 10. Нормированные оценки систем по всем критериям

В этом месте пути предприятий X и Y вновь расходятся, т.к. у экспертов каждого предприятия представления о важности рассматриваемых критериев не совпадают.

Для получения результатов необходимо для каждой из рассматриваемых операционных систем просуммировать нормализованные критерии, умноженные на свои веса. Для предприятия получим таблицу 7.

Таблица 11. Результаты для предприятия

В итоге получаем, что для решения поставленных задач предприятию больше всего подходит операционная система ОС-1.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Общая задача принятия решений.

2. Критерии принятия решений в условиях риска (Байеса, Лапласа).

3. Критерии принятия решений в условиях неопределенности (Вальда, Сэвиджа, Гурвица).

4. Пример на принятие решений.

5. Объективисты и субъективисты.

6. Функция безразличия и ожидаемая полезность.

7. Модификация основной задачи и распределение риска.

8. Общая задача распределения риска.

9. Оптимальность по Парето.

10. Оптимальное по Парето распределение лотереи при экспоненциальных функциях полезности.

11. Задачи торга и образования синдиката.

12. Выбор лотерей при их распределении.

13. Задача выбора портфеля.

14. Этапы метода МАИ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Magee J. F., How to Use Decision Trees in Capital Investment, Harvard Bus. Rev., 42 No. 5, 79 - 96 (1964).

2. Howard R. A., Decision Analysis, Applied Decision Theory, Proc. Fourth Int. Conf. on Operational Res., Boston, Massachusetts, 1966.

3. Brown R. V., Marketing Applications of Personalist Decision Analysis, Marketing Science Institute, 1971.

4. Howard R. A., Matheson J. E., North D.W., The Decision to Seed Hurricanes, Sci., 176, 1191 - 1202 (1972).

5. De Neufville R., Keeney R. L., Use of Decision Analysis in Airport Development for Mexico City, in Analysis of Public Systems, Drake A. W., Keeney R. L., Morse P. M., Eds., MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1972.

6. Sol H. (Ed). Processes and Tools for Decision Support, North Holland Company, Amsterdam, 1983.

7. Humphreys P., Wisudha A. “MAUD 4”, Decision Analysis Unit Technical Report 82 - 85. London School of Economics and Political Science, 1982.

8. Lewandowski A., Worzbicki A. Theory, Software and Examples in Decision Support System. Working paper WP-88-071, International Institute for Applied Systems Analysis, Laxeburg, Austria, 1988.

9. Г. Райфа. Анализ решений. М., Наука, 1977.- 406с.

10. Р. Д. Льюис, Х. Райфа. Игры и решения. М., ИЛ, 1961. 636с.

11. Д.В. Соколов. Методические указания по курсу «Математические методы исследования и моделирования экономических систем». СПб., Изд-во СПбГУЭФ, 1998 – 65с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: