Оптимальное распределение лотереи при экспоненциальных функциях полезности

Рассмотрим экспоненциальную функцию полезности , которая играет важную роль: u(x)=1- e^-^x^/^c. Константа c здесь определяет степень склонности участника к

u			риску. Как видно из рис.13 экспоненты являются вогнутыми
		функциями, какими и должны быть функции полезности.

c₁	c₂		Кроме того, чем больше параметр с , тем ближе к прямой
	начальный участок экспоненты, т.е. тем больше поведение

			индивидуума соответствует поведению объективиста (он
c₁	< c₂		больше склонен к риску).
	Предположим, что имеется n участников, каждый из

		x	которых имеет экспоненциальную функцию полезности со
	своим параметром. Имеется также лотерея с m исходами.
Рис.13
	Каково же оптимальное по Парето распределение лотереи

			между ними? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Т е о р е м а 2. В случае n участников с экспоненциальными функциями полезности
u_i(x)= 1-exp(-x/c_i) , i=1, . . . , n,

оптимальное по Парето распределение лотереи l состоит в том, что j- й участник должен первоначально заплатить i- му участнику побочный платеж

- c_ic_j/(c₁+c₂+ . . . +c_n) log( λ_jc_i/(λ_ic_j)), i,j=1, . . . , n,

а затем i- й участник получает долю выигрыша пропорциональную

ρ_i =c_i/(c₁+ . . . +c_n).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (7) и конкретного вида функций полезности получаем:

λ_i/c_i exp(-x_ki/c_i)=λ_j/c_j exp(-x_kj/c_j)

или

exp(-x_ki/c_i)=λ_jc_i/(λ_ic_j) exp(-x_kj/c_j).

Прологарифмировав обе части получаем

x_ki=c_i/c_j x_kj - c_i log(λ_jc_i/(λ_ic_j)).

Рассмотрим теперь следующую сумму, которая получается при подстановке в предыдущую формулу j=1:

x_k₁+ . . . +x_kn=x_k₁+c₂/c₁ x_k₁ - c₂log(λ₁c₂/(λ₂c₁))+ . . . +c_n/c₁ x_k₁ - c_nlog(λ₁c_n/(λ_nc₁))=x_k₁(1+c₂/c₁+ . . . +c_n/c₁) -

(c₂log(λ₁c₂/(λ₂c₁))+ . . . +c_nlog(λ₁c_n/(λ_nc₁)))=x_k,

отсюда

x_k₁=c₁/(c₁+ . . . +c_n) x_k - c₁c₂/(c₁+ . . . +c_n) log(λ₂c₁/(λ₁c₂) - c₁c₃/(c₁+ . . . +c_n) log(λ₃c₁/(λ₁c₃)) - . . . - c₁c_n/(c₁+ . .

. +c_n) log(λ_nc₁/(λ₁c_n)).

(8)

Следует сказать, что для вывода несущественно наличие у х индексов k1. Мы могли рассмотреть и x_ki. Это завершает доказательство теоремы.

Из формулы (8) видно, что если λ_i/c_i < λ ₁/c₁, то i- й индивидуум платит 1- му побочный платеж (т.е. соответствующий логарифм будет входить в формулу (8) с положительным знаком). В двух крайних случаях это происходит, во - первых, тогда, когда при равной склонности к риску (c_i=c₁) индивидуумы согласились, что λ_i<λ₁ (т.е. оптимальная по Парето точка на поверхности совместной оценки полезности более выгодна 1- му индивидууму, см. рис.11). Во - вторых, это произойдет тогда, когда i- й индивидуум более склонен к риску, чем 1- й (с_i>c₁) , и в то же время они согласились, что их устраивает точка на поверхности совместной оценки полезности, в которой λ_i=λ₁ (т.е. ни один не уступил другому). Утешением для i- го индивидуума здесь является то, что он получит большую долю выигрыша.

Пример1. Пусть два индивидуума совместно участвуют в лотерее. При экспоненциальной аппроксимации их функций полезности были получены следующие значения параметров: с₁=10, с₂=90 (второй индивидуум более готов рисковать). Так как в процессе договора относительно λ ни один не уступил другому, то λ ₁=λ₂=1/2. Отсюда получаем: x_k₁=0,1x_k+18 , x_k₂=0,9x_k - 18. Т . е. второй индивидуум, который любит рисковать, даже готов предварительно заплатить, но зато он претендует на большую долю выигрыша.

Говорят, что используется линейное распределяющее правило для лотереи, если это распределение можно интерпретировать как выделение пропорциональных долей участникам после предварительного обмена побочными платежами.

Задача торга

Предположим, что лотерея l предложена обоим участникам 1 и 2. Если они не могут прийти ни к какому соглашению, то теряют право на нее. Если северо- восточный квадрант пуст, то они откажутся от лотереи. Если ситуация соответствует рис.12, то у них сильное искушение договориться.

Если участник 1 заинтересован исключительно в собственных доходах, то он хотел бы оказаться возле точки f. Если и участник 2 стоит на той же позиции, то он хочет оказаться возле точки а. Но оба участника могут и не быть такими эгоистами, они могли бы предпочесть получить немного меньшую сумму, если это означает, что другой получит существенно больше. Так, шаг- за- шагом в результате такого торга они могут двигаться друг к другу. Но вполне может наступить момент, когда участник 1 пригрозит: “Я не собираюсь подниматься выше е”, а участник 2 скажет:”Я не собираюсь спускаться ниже b”. В такой ситуации они могли бы быть до того неуступчивыми, что потеряли бы право на лотерею l, сведя все к исходу Mu₁=Mu₂=0, что не оптимально по Парето.

Рассмотрим еще один подход к задаче торга. Предположим, что участники торга не могут или не хотят разрешать свою проблему сами и предоставляют ее на рассмотрение арбитража. Каковы эталоны “справедливых” или “этических” принципов, которыми может руководствоваться арбитр? Известно

арбитражное решение (схема) Нэша.Согласно ему следует выбрать такую	точку (Mu₁⁰, Mu₂⁰), где
Mu₁⁰, Mu₂⁰ > 0,	которое максимизирует	произведение	Mu₁Mu₂	(функции	полезности
Mu₂
			индивидуумов	должны	быть	нормированы:
	Mu₁Mu₂		u₁(0)=u₂(0)=0).Это решение имеет место при наложении
Mu₂⁰			4- х математических ограничений [10].
			Другое арбитражное решение заключается в
			выборе точки (Mu₁⁰, Mu₂⁰) такой, что она имеет
			положительные координаты (лежит на северо- восточной
			границе), а пара соответствующих им	БДЭ совпадает
			(т.е. оба индивидуума одинаково выигрывают в смысле
	Mu₁⁰	Mu₁	своих БДЭ).
	Рис.14
		5.11. Задача образования синдиката

Предположим, индивидууму 1 принадлежит лотерея l. Он может захотеть продать или разделить некоторую часть этой лотереи с индивидуумом 2. При этом он может сказать себе: “Я должен найти распределение Х, максимизирующее Mu₁ при условии, что Mu₂ ≥ , где - некоторое положительное число, которое соблазнит 2 на сделку со мной”. Индивидуум 1 собирается вести переговоры с несколькими разными индивидуумами пока не найдет покупателя. Должен существовать какой- то рыночный механизм, определяющий величину приемлемого .

Например, компания хочет увеличить свой капитал, продав ценные бумаги. Обычно группы коммерческих банковских фирм образуют синдикаты со специальной целью установить цены на эти бумаги. Коммерческая банковская фирма , которая организует эту группу, т.н. синдикатный лидер, пытается распределить эмиссию таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности своей доли при вынужденном условии, что доли, предложенные остальным членам синдиката, достаточно привлекательны, чтобы те их приняли.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: