Общая задача распределения риска

Рассмотрим случай нескольких участников лотереи. Пусть l - лотерея, в которой выплачивается x₁, если имеет место состояние s₁, . . . ,x_m если s_m. Пусть состояниям s₁, . . . ,s_m соответствуютобъективные вероятности p ₁, . . . ,p_m. Пусть у нас имеется n участников. Распределение лотереи l описывает для состояния s_k как совместный платеж будет распределен между всеми участниками: 1

получит x_k₁, . . . , i получит x_ki , . . . , n получит x_kn , где
x_k1+ . . . +x_ki+ . . . +x_kn=x_k	∀ k. Общий вид приведен в следующей таблице.			Таблица 2.
	Лотерея l						Распределение X

Состояние	Вероятность	Платеж	1	.	.	.	i				n
s₁	p₁	x₁	x11	.	.	.	x1i	.	.	.	x1n
.	.	.	.	.			.	.			.
.	.	.	.	.			.	.			.
.	.	.	.	.			.	.			.
sk	p_k	x_k	xk1	.	.	.	xki	.	.	.	xkn
.	.	.	.	.			.	.			.
.	.	.	.	.			.	.			.
.	.	.	.	.			.	.			.
s_m	p_m	x_m	xm1	.	.	.	xmi	.	.	.	xmn

Таким образом, мы можем описать распределение лотереи l с помощью матрицы m× n, где сумма чисел строки k равна x_k. Будем обозначать эту матрицу через X. i- й столбец X - это доля, которая достается индивидууму i. Он эквивалентен лотерее с платежами x₁_i при s₁, . . . , x_ki при s_k, . . . и x_mi при s_m. Будем обозначать эту лотерею через l_X⁽ⁱ⁾. Таким образом, описанное матрицей X распределение пребразует лотерею l в совокупность n лотерей l_X⁽¹⁾, . . . , l_X⁽ⁿ⁾.

Дальше, ради простоты изложения, примем n=2. Обозначим через u₁ и u₂ функции полезности индивидуумов 1 и 2 соответственно (примем, что u₁(0)=u₂(0)=0) . Теперь любому распределению X лотереи l можно поставить в соответствие пару чисел (Mu₁,Mu₂), где

Mu_i= p₁u_i(x_1i)+p₂u_i(x_2i)+ . . . +p_mu_i(x_mi),

т.е. это ожидаемая полезность (ОП ) индивидуума i=1,2. Будем называть пару (Mu₁,Mu₂) совместной оценкой полезности распределения X для l.

Если зафиксировать l, то каждому распределению X мы можем поставить в соответствие пару (Mu₁,Mu₂), которую можно изобразить как точку в двумерном пространстве.

Mu₂ a

• b

•

• h

c •

А • d

g• • e

• f

Mu₁

Рис.11

хорды.

Обозначим множество всех возможных совместных оценок полезности через А . Северо- восточная граница А (проходящая через a, b, c, d, e, f) может иметь локальные провалы вроде того, который есть между b и d. Однако, воспользовавшись рандомизацией, мы можем заполнить эти впадины.Например, предположим, наше распределение X_b приводит к точке b, а другое X_d - к точке d. Мы тогда можем бросить монету: “герб”- мы выбираем X_b, “цифра”- X_d. У этой рандомизированнойпроцедуры совместная оценка полезности находится в точке h- посередине хорды, соединяющей b и d. Изменяя вероятности выбора X_b или X_d, мы можем получить любую точку этой

Оптимальность по Парето

В ситуации, показанной на рис.11, для участников было бы нелогично выбирать распределение, приводящее к точке g, поскольку существуют другие распределения (например, е), которые предпочтительнее для обоих индивидуумов. Говорят, что совместное действие оптимально по Парето, если невозможно улучшить положение одного индивидуума без ухудшения положения другого.

Для оптимальной по Парето границы А необходимо отметить, что на рис.11 через всякую точку

е на этой границе (не лежащую во впадине) можно провести касательную. Уравнение этой касательной можно задать следующим образом:

λ₁Mu₁+λ₂Mu₂=k, где λ₁+λ₂ =1.

(2)

Теперь мы можем задаться вопросом: для заданных λ₁ и λ₂ какая точка из А максимизирует выражение

λ₁Mu₁+λ₂Mu₂ при (Mu₁,Mu₂)∈ A ?		(3)
Такая точка получается параллельным сдвигом прямой (2)	за счет варьирования k. Как видно
Mu₂			из рис.12, она опять же будет на границе области А, т.е. проходит через точку
			е.Таким образом,мы можем установить соответствие между точкой е на
k/λ₂	e		северо- восточной границе и парой положительных чисел (λ₁ ,λ₂), где λ₁ +λ₂
			=1.По мере того,как точка е движется вправо по границе А, касательная
			поворачивается, λ₁ растет к 1, а λ₂ убывает к 0. Так мы можем получить всю
			северо- восточную границу А, давая λ₁	и λ₂ пробегать интервал от 0 до 1 и
	k/λ₁	Mu₁	сопоставляя каждой паре (λ₁	, λ₂	) точку(или множество точек) А,
	Рис.12		максимизирующие (3).
			Как же выбрать распределение Х, максимизирующее (3) для данных

(λ₁ , λ₂ )?В более общем случае n участников выбор такого распределения надо сделать для вектора ( λ₁ , λ₂ , . . . , λ_n ). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Т е о р е м а 1(п р а в и л о). Если происходит событие s_k, разделите общую сумму между всеми

участниками так, чтобы максимизировать
λ₁u₁(x_k1)+ . . . +λ_nu_n(x_kn),	(4)
где x_k1+ . . . +x_kn=x_k.	(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим любое распределение Х, дающее х_k₁ индивидууму 1 и х_k₂
индивидууму 2 и т.д. Можно записать
λ₁Mu₁+λ₂Mu₂+ . . . +λ_nMu_n =λ₁[p₁u₁(x₁₁)+	. . . +p_mu₁(x_m1)]+λ₂[p₁u₂(x₁₂)+ . . . +p_mu_n(x_mn)]+ . . . +

λ_n[p₁u_n(x_1n)+ . . . +p_mu_n(x_mn)]=p₁[λ₁u₁(x₁₁)+ . . . +λ_nu_n(x_1n)]+ . . . +p_m[λ₁u₁(x_m1)+ . . .+λ_nu_n(x_mn)] (6)

Ясно, что чтобы максимизировать (6) надо для любого состояния s_k выбрать x_k₁, . . . , x_kn, максимизирующие выражение (4) при условии (5).

Очевидно, что подходящий для (4) и (5) вектор (x_k₁, . . . , x_kn) должен быть такой, что⁴⁴
u₁′(x_k1)=u₂′(x_k2)= . . . =u_n′(x_kn),	где x_k1+ . . . +x_kn=x_k.	(7)

⁴⁴ Это можно показать формально используя метод множителей Лагранжа.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: