Анализ характеристик марковских СМО

СМО М/М/1.Подставив(30)в(19)получим формулы для расчета эргодическогораспределения:

P = ρⁱ (1− ρ),i =0,1,2,...	(33)
i

Как следует из эргодической теоремы для процессов типа «гибели и размножения», такое распределение существует, если коэффициент нагрузки ρ=λ/μ < 1. Вообще коэффициент нагрузки характеризует собой степень загрузки оборудования обслуживанием требований (он показывает долю времени, когда прибор занят обслуживанием). Среднее число требований в системе и среднее время пребывания были нами получены нами раньше с использованием метода производящих функций и теоремы Литтла:

m = P^*'(1)=			ρ		.	(34)
	−	ρ

u =	ρ			=		.	(35)
λ(1− ρ)		μ(1− ρ)

График зависимости времени пребывания от коэффициента нагрузки имеет следующий характерный вид. Кривая имеет горизонтальный участок и вертикальную асимптоту.

Эту модель можно использовать, например,	u
при анализе времени разгрузки судов, времени ожидания
получения запчастей на складе и т.д.	μ^-

		ρ
	Рис. 21

Для данного класса систем массового обслуживания могут решаться задачи определения размеров очереди и соответствующих складских площадей, расчета пропускной способности системы и др.

СМО M/M/N.Подставив(31)в(19)получим формулы для расчета эргодического

распределения:

ρⁱ

P =

P ,i =1, N −1,

P =

_ρi

,i ≥ N,

N!N ⁱ⁻^N

P =[

N −1

ρⁱ

ρ ^N

_]−1

(37)

^∑ i!

(N −1)!(N − ρ)

i=0

Как следует из эргодической теоремы для процессов типа «гибели и размножения», такое распределение существует, если ρ=λ/μ<N.

Вероятность того, что поступившее требование будет ждать, задается равенством:

∞

N ^N

ρ ^N

ρ ^N P

C(N, ρ)=∑P_i = P₀

(38)

− ^ρ

(N −1)!(N − ρ)

i=N

Эта формула называется С – формулой Эрланга.

Найдем среднее число требований в системе. Для этого запишем производящую функцию:

N −1

(ρz)ⁱ

(ρz)^N

P^*(z)=[∑

]P₀

(N −1)!(N − ρz)

i=0

Среднее число требований в системе равно:

_m ₌ _P*' ₍₁₎ ₌ _[^N ⁻¹

ρⁱ

Nρ ^N

_ρ N +1

]P .

(39)

^∑_i₌₁ (i −1)!

(N −1)!(N − ρ)

(N −1)!(N − ρ)²

Аналогично можно получить среднюю длину очереди:

	_ρ N +1_P
l =
(N −1)!(N − ρ)² ^.	(40)

Используя формулу Литтла, получаем среднее время ожидания требований в системе:

	ρ ^N P
w =
μ(N −1)!(N − ρ)²^.	(41)


Найдем среднее число свободных от обслуживания приборов:
			N −1				N − i
N	св	=	∑	(N − i)P	=	∑	ρⁱ P .	(42)

		i	i!
			i=0

Поскольку данная модель является обобщением предыдущей, то она может использоваться в тех же областях и дополнительно для решения задач планирования персонала и ресурсов.

В качестве показателя эффективности использования системы рассмотрим чистую стоимость, связанную с приобретением и использованием системы (аналог NPV, но без выполнения дисконтирования):

I =[b₃λ + db₁ N −b₂ N_св −b₄λw]T − Nb₁,

(43)

где d- норма амортизации в ед. времени , b₁ - цена канала обслуживания, b₂ и b₃ - текущие затраты на обслуживание простаивающего и чистая прибыль (за вычетом налога на прибыль) на одно изделие от рассматриваемой операции; b₄ - затраты на содержание ожидающих требований в единицу времени; T - длительность анализируемого периода времени. Большему и положительному значению этого показателя соответствует большая эффективность.

СМО М/М/N/0.Подставив(32)в(19)получим формулы для расчета эргодическогораспределения:

_ρi

P =

, i =

(44)

0, N

∑

i=0

Как следует из эргодической теоремы для процессов типа «гибели и размножения», такое распределение существует, если ρ<∞. Формула (44) называется формулой Эрланга. Особенностью данной модели является возможность потери требований. Требование теряется, если в момент его поступления заняты все N приборов.

Найдем среднее число свободных от обслуживания приборов:

N	св	=	N −1	(N − i)P	=	N −1	N − i	ρⁱ P .	(45)

		∑	i		∑	i!
			i=0			i=0

В качестве экономической оценки эффективности работы системы также рассмотрим чистую стоимость, связанную с приобретением и использованием системы:

I=[b₃λ(1-P_N)+db₁N-b₂N_св]T - b₁N, (46)

где d- норма амортизации в ед. времени , b₁ - цена канала обслуживания, b₂ и b₃ - текущие затраты на обслуживание простаивающего и чистая прибыль (за вычетом налога на прибыль) на одно изделие от рассматриваемой операции; T - длительность анализируемого периода времени. Большему и положительному значению этого показателя соответствует большая эффективность.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Статические и динамические системы.

2. Классификация экономических моделей.

3. Экономические модели верхнего уровня. Модель Самуэльсона-Хикса.

4. Экономические модели верхнего уровня. Статическая и динамическая модель для задачи Леонтьева.

5. Экономические модели среднего уровня. Модель регионально-отраслевого планирования.

6. Экономические модели нижнего уровня. Линейная динамическая модель непрерывного производства.

7. Экономические модели нижнего уровня. Модель сетевого планирования.

8. Экономические модели нижнего уровня. Модель участка мелкосерийного производства.

9. Принципы построения динамических моделей индустриальных систем по Форрестеру.

10. Представление проекта в виде сети работ.

11. Определение критического пути.

12. Задачи распределения и добавления ресурсов.

13. Комплексные проекты.

14. Стохастические подходы к анализу проектов.

15. Основные понятия и задачи исследования динамики систем.

16. Элементарные звенья гладких линейных систем.

17. Типы соединений звеньев.

18. Преобразование Лапласа и его свойства.

19. Передаточные функции элементарных динамических звеньев.

20. Передаточные функции соединений.

21. Исследование линейных систем.

22. Дискретные динамические системы. Общее решение.

23. Дискретные динамические системы. Устойчивость.

24. Макроэкономическая модель Самуэльсона-Хикса.

25. Типы систем массового обслуживания.

26. Марковские цепи.

27. Эргодичность марковских цепей.

28. Процессы рождения и гибели.

29. Метод производящих функций.

30. Теорема Литтла.

31. Экспоненциальное распределение и марковские СМО.

32. Анализ характеристик марковских СМО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Багриновский К. А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973. 206с.

2. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Иностранная литература, 1963. 666с.

3. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия, 1975. 416с.

4. Иванов Ю. Н. и др. Математическое описание элементов экономики. М.: Наука, 1994. 414с.

5. О. Ланге. Введение в экономическую кибернетику. М., Прогресс,1968. 207с.

6. Л. Клейнрок. Теория массового обслуживания. М., Машиностроение, 1979

7. Процессы регулирования в моделях экономических систем. /Пер. под ред. Я.З. Цыпкина, Б.Н. Михалевского. М., ИЛ, 1961. 202с.

8. Дж. Форрестер. Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика). М., Прогресс, 1971. 344с.

9. Bass, Frank M. 1969. A new product growth model for consumer durables. Management Science, Vol. 15, No. 5 (January), pp. 215–227.

10. Srinivasan, V. and Mason, C. H. (1986). Nonlinear least squares estimation of new product diffusion model. Marketing Science, 5 (2), 169-178.

11. Schmittlein, D. C. and Mahajan, V. (1982). Maximum likelihood estimation for an innovational diffusion model of new-product acceptance. Management Science, 1 (1), 57-78.

12. V. Mahajan and S. Sharma: A simple algebraic estimation procedure for innovation diffusion models of new product acceptance. Technological Forecasting and Social Change, 30 (1986) 331-346.

13. V. Mahajan, C.H. Mason and V. Srinivasan: An evaluation of estimation procedures for new product diffusion models. In V. Mahajan and Y. Wind (eds.): Innovation Diffusion Models of New Product Acceptance (Ballinger Cambridge, Massachusetts, 1986), 203-232.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: