Элементарные динамические звенья гладких линейных систем

Система с непрерывными потоками , или гладкая система, обычно может служить эффективным первым приближением. Динамика модели с непрерывными потоками обычно более легка для понимания

в качестве исходного пункта и должна быть изучена прежде, чем будут введены усложнения, связанные

с дискретностью и шумами (стохастическая модель).

Произвольную линейную систему можно представить в виде соединения элементарных динамических звеньев.Рассмотрим ряд основных элементарных динамических звеньев.Прирассмотрении динамики звеньев интерес представляет отклик звена на соответствующее пробное воздействие. В качестве такого пробного воздействия обычно рассматривают единичную функцию 1(t), которая определяется следующим образом:

0 при t <0; 1(t)=

1 при t ≥ 0.

Отклик на единичную функцию называют переходной функцией.

²² Если вернуться к тому понятию гладкой линейной динамической системы, которое мы до этого рассматривали, то нам следовало бы написать:

^dx_dt = A(t)x + B(t)u, v(t)= C(t)x.

где v(t) – результат измерения, который пропорционален состоянию. Если принять систему (или рассматриваемую ее часть) наблюдаемой, то по ее выходу v(t) можно определить ее состояние x(t). Для простоты в этом случае обычно считают, что состояние совпадает с результатом его измерения. В связи с этим при изучении таких систем достаточно исследовать систему линейных дифференциальных уравнений вида (1).

Пропорциональный или линейный усилитель преобразует входной сигнал в выходной по законупрямой пропорциональности: v(t) = ku(t), где k - коэффициент усиления любого знака (рис.4).

u	k	v

Рис. 4 Ясно, что отклик такого звена выглядит пропорционально входному воздействию. Термин «усиление»

подразумевает большую реакцию той или иной части системы, чем это оправдывается вызвавшими ее причинами. Например, мы часто наблюдаем, что колебания темпов производства на заводе значительно превосходят величину изменений в темпах розничных продаж. Усиление возникает во многих местах. Заказы на товары не только воспроизводят темп продаж: в дополнение к этому выдаются заказы для увеличения товарных запасов, для заполнения каналов товародвижения и для спекуляции. Усиление возникает при использовании многих методов прогнозирования и предвидения, например, когда экстраполяция прежнего роста темпов ведет к чрезмерным капиталовложениям для увеличения производственных мощностей. Усиление также вызывается тенденцией заказывать заблаговременно в случаях замедления поставок. Выдача заказов на будущее время в периоды повышения цен и задержка заказов при их снижении тоже порождают явление усиления. Усиление имеет важнейшее значение в развитии и устойчивости промышленно-сбытовой системы.

Кроме этого, пропорциональное звено используется для моделирования распределения потоков. K₁

K₂

В этом случае сумма двух коэффициентов пропорциональных звеньев равна единице: K₁+K₂=1.

Звено задержки (рис.5)задерживает входной сигнал на постоянное времяτпо законуv(t)=u(t-τ).Переходная функция представляет собой задержанную на время τ единичную функцию 1(t-τ).

u	З З	v

Рис. 5 Используется при формировании внешних воздействий. Кроме того, запаздывания возникают на каждой

стадии деятельности системы – в процессах транспортировки, при усреднении данных, при принятии решений. Особенно важные запаздывания создаются в системе в пунктах встречи потоков, как-то: потоков заказов и товаров, рабочей силы и результатов исследований, планов и производства.

Хотя запаздываниям свойственна неустойчивость, тем не менее, неправильно считать, что все запаздывания в системе вредны.

Интегрирующее звено (резервуар) (рис. 6)преобразует входной сигнал по закону t

v(t) =∫ u(τ )dτ или dv(t)/dt=u(t). t0

u	∫	v

Рис. 6 Откликом интегрирующего звена на единичную функцию является отрезок прямой из начала координат с единичным наклоном.

Интегрирующее звено применяется обычно для моделирования процессов накопления. Такие резервуары будут включать задолженность по невыполненным заказам, заказы в пути, отправленные почтой, принятые и еще не выполненные решения, собранные и обработанные, но не использованные сведения. Резервуары материальных ценностей содержат незавершенное производство, запасы готовой продукции и товары в пути. Резервуары в денежном потоке отражают банковскую наличность и полученные ссуды. Резервуары в потоках людей охватывают всех работающих, различные категории не имеющих работы, а также потребителей и акционеров. Резервуары основных средств включают производственные сооружения и оборудование, разделенные, если нужно, по сроку службы, типу, производительности и долговечности.

Дифференцирующее звено (рис. 7)преобразует входной сигнал по правилу:выход естьпроизводная входа - v(t)=du(t)/dt.

u D v

Рис. 7 Откликом этого звена на единичное воздействие является дельта-функция Дирака²³, равная нулю

повсюду, кроме точки «ноль». В этой точке функция принимает значение +∞. Интеграл от этой функции представляет собой единичную функцию.

Будучи включенным в контур обратной связи это звено в экономических моделях реализует акселератор.

Инерционное звено или звено с экспоненциальным запаздыванием (рис. 8)с постоянной времени

T образует выходной сигнал v(t) по правилу:

Т dv/dt+v=u; v(0) =const,

где u(t) - входная функция системы.

u	ИЗ	v

	Рис. 8

Для нахождения соответствующей переходной функции v(t) необходимо решить уравнение

Тdv/dt+v = 0 для t≤ 0, v(0) = 0,

и уравнение

Тdv/dt+v = 1 для t>0.

Непосредственной подстановкой в уравнения легко убедиться, что их решением является:

0 для t≤ 0;

v(t) =	-t/T
1 - е	для t> 0.

Эта экспоненциальная функция изображена на рис. 9. v

Рис. 9

Как видно из уравнения, при достаточно большом времени lim v(t) = 1 при t →∞. Таким образом, разность между единицей и величиной v(t) стремится к нулю, однако скорость этого стремления существенно зависит от величины, постоянной времени Т:

-t/T

= 1 - v(t) =е

Очевидно, что если T- малое число, то уже при сравнительно небольших значениях времени t величина становится пренебрежимо малой, если же T велико, то этот момент наступает позже. Обычно считается, что величиной можно пренебречь, если она равна

-3

е = 0,0497 < 5 % . Отсюда момент, когда выход инерционного звена становится практически равным входу, т. е. время запаздывания сигнала, определяется по формуле t_зап = 3Т.

Инерционное звено называется еще звеном с распределенной задержкой. Им можно моделировать любой инерционный процесс, в частности, производство.

²³ Дельта-функция Дирака, так же как и единичная функция (функция Хэвисайда) являются примерами обобщенных функций. Они являются обобщением обычных функций. Долгое время математики не хотели признавать такие функции. Введение обобщенных функций преследует цель сделать всегда выполнимой операцию дифференцирования с использованием символических (не числовых) операций. Важным свойством дельта-функции Дирака является ее просеивающее свойство: для дифференцируемой функции g(t)

^∞_∫δ (t − x)g(x)dx = g(t)

−∞

Линейным звеном с множеством входов является сумматор. Сумматор образует выход как

сумму конечного числа входов v(t) = ∑u_i (t)

i=1

u₂ v

Переходная функция такого звена по любому из входов представляет собой единичную функцию. Элементарными звеньями систем автоматического управления являются также нелинейные

функциональные преобразователи,которые играют большую роль при анализе нелинейных систем,выполняя каждый свою специфическую функцию.

Типы соединений звеньев

В первом разделе были рассмотрены принципы системного подхода и методология системных исследований и их применение к исследованию систем. В результате такого исследования получается модель системы в виде множества взаимосвязанных подсистем. В рамках линейной модели структура системы будет представлять собой различные соединения элементарных звеньев. Существуют три типа таких соединений. Элементарные звенья и более сложные образования связываются между собой при помощи последовательного, параллельного и антипараллельного соединений.

Параллельным соединением Nэлементарных звеньев называется такое их соединение в единуюсистему, при котором общий выход системы равен сумме выходов звеньев (рис. 10).

v₂

N v= _i=1Σ vi

N	v_N

Рис. 10

Последовательным соединением Nэлементарных звеньев называется такой способ соединения,при котором выход предыдущего элемента цепочки является входом в следующий. Таким образом , вход в систему совпадает со входом в первое звено, а выходом из системы служит выход последнего звена

(рис. 11).

u=u₁

v₁=u₂

v₂=u₃

. . .

vN-1=uN

v_N=v

Рис. 11 Антипараллельное соединение двух звеньев в сложную систему(соединение обратной связи)

имеет вид, изображенный на рис. 12.

1 v₂

u₂

Рис. 12

Таким образом, здесь выход из системы в целом совпадает с выходом из первого звена и служит входом во второе звено . Входом в первое звено является сумма внешнего входного воздействия и выхода второго звена u₁ = u+v₂.

Описанные способы используются для соединения не только элементарных звеньев, но и более сложных образований. В принципе, этим путем производится синтез динамических систем с заданными свойствами.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: