Построение правильных многоугольников по данной стороне

Построение квадрата по данной его стороне L (рисунок 34). На произвольной прямой откладывают отрезок AB, равный стороне квадрата L. Из любого конца отрезка, например из точки A, восстанавливают перпендикуляр и на нем откладывают отрезок AD = L. Затем из точек B и D как из центров проводят дуги радиусом R = L и на пересечении их отмечают точку С. Соединив прямыми точку C с точками B и D, получают квадрат с заданной стороной L.

Рисунок 34

Построение правильного шестиугольника по данной его сторонеL (рисунок 35). Известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной вокруг него. Поэтому, построив на произвольной прямой отрезок AB=L (рисунок 35, а), из концов его как из центров проводят две дуги радиусом R=L до взаимного пересечения их в точке О. Приняв точку О за центр, проводят окружность тем же радиусом R=L и делят ее на шесть равных частей. Точки деления являются вершинами правильного шестиугольника со стороной L (рисунок 35, б).

а б

Рисунок 35

Построение правильного шестиугольника с помощью линейки и угольника с углами 60 и 30° показано на рисунке 36.

Рисунок 36

Приближенный способ построения правильных многоугольников данной сторонеAB (рисунок 37).Изложенный ниже способ заключается в том, что правильный многоугольник строят как вписанный в окружность. Из концов отрезка АВ радиусом, равным этому отрезку, проводят две дуги до взаимного пересечения их в точках О и О₆. Из точек A и В к отрезку AB восстанавливают перпендикуляры, и на пересечении их с проведенными дугами получают две вершины квадрата (на рисунке 37 отмечена одна из них). Центр O₄ окружности, описанной около квадрата, расположен в точке пересечения диагонали квадрата с вертикальной прямой OO₆. Для построения вписанного пятиугольника отрезок O₄O₆ делят пополам в точке O₅ и из нее как из центра описывают окружность радиусом, равным отрезку O₅A. Сторона AB пять раз уложится на этой окружности. Центры окружностей, в которые сторона AB укладывается 8, 10, 12 и т. д. раз, расположены в точках пересечения прямой OO₆ с окружностями соответственно радиусов O₄A, О₅А, О₆А и т. д. Разделив пополам отрезки O₆O₈, O₈O₁₀, O₁₀O₁₂ и т.д., получают точки O₇,O₉, O₁₁ и т. д., являющиеся центрами окружностей, в которые сторона AB укладывается 7, 9, 11 и т. д. раз. Радиусы этих окружностей равны O₇A, O₉A, O₁₁A и т.д.

Рисунок 37

Построение правильных многоугольников, описанных около окружности

Правильный описанный треугольник строят следующим образом (рисунок 38). Из центра заданной окружности радиуса R₁ проводят окружность радиусом R₂ = 2R₁ и делят ее на три равные части. Точки деления А, В, С являются вершинами правильного треугольника, описанного около окружности радиуса R₁.

Рисунок 38

Правильный описанный четырехугольник (квадрат) можно построить с помощью циркуля и линейки (рисунок 39). В заданной окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью за центры, радиусом окружности R описывают дуги до взаимного их пересечения в точках А, В, С,D. Точки A, B, C, D и являются вершинами квадрата, описанного около данной окружности.

Рисунок 39

Для построения правильного описанного шестиугольника необходимо вначале построить вершины описанного квадрата указанным выше способом (рисунок 40, а). Одновременно с определением вершин квадрата заданную окружность радиуса R делят на шесть равных частей в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проводят вертикальные стороны квадрата. Проведя через точки деления окружности 2–5 и 3–6 прямые до пересечения их с вертикальными сторонами квадрата (рисунок 40, б), получают вершины А, В, D, Е описанного правильного шестиугольника.

а б

Рисунок 40

Остальные вершины C и F определяют с помощью дуги окружности радиуса OA, которая проводится до пересечения ее с продолжением вертикального диаметра заданной окружности.
3 СОПРЯЖЕНИЯ

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п.

Плавный переход одной линии в другую называют касанием линий, а точку, в которой происходит касание, - точкой касания или перехода (рисунок 41). Например, две дуги радиусами R₁ и R₂, касающимися между собой (рисунок 41 а), имеют общую точку касания A, лежащую на линии, соединяющей центры этих дуг – точки O₁ и O₂. На рисунке 41, б изображена прямая, касающаяся дуги радиуса R и имеющая с ней общую точку касания B, расположенную на перпендикуляре, опущенном из центра дуги – точки О на прямую. Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

а б

Рисунок 41

Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии называют сопряжением. На рисунке 42 такой промежуточной линией является дуга AB радиусом R_c, с помощью которой осуществлен плавный переход (сопряжение) от прямой к дуге окружности радиусом R.

Рисунок 42

Чаще всего промежуточной линией является дуга окружности, называемая дугой сопряжения, или сопрягающей дугой. Радиус сопрягающей дуги носит название радиуса сопряжения, а центр дуги – центра сопряжения. Дуга сопряжения касается одновременно двух сопрягаемых линий. При сопряжении всегда имеются две точки перехода (на рисунке 42 точки А и B), и через каждую из них можно провести по одной общей касательной.

Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: