Проекция ( геометрическая , алгебраическая) вектора на ось. Свойства проекций.

Ответ:

Свойства проекций:

Свойства проекции вектора

Свойство 1.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:

Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.

Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

Свойство 3.

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат

Ответ:

Орты осей.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае орты обычно обозначаются

и Могут также применяться обозначения со стрелками и

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Разложение вектора по координатным ортам.

Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)

Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

Координаты вектора:

Чтобы вычислить координаты вектора , зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).

Свойства координат.

Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.

Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.

Свойство 1.При сложении векторов на оси их координаты складываются.

Свойство 2.При умножении вектора на число его координата умножается на это число.

Скалярное произведение векторов. Свойства.

Ответ:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,

равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа

Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Скалярное произведение (×) орты

Определение скалярного произведения векторов , заданных своими координатами.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Ответ:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном ( показать как он показывал с «ручками»)

Векторным произведением вектора ана векторbназывается вектор с который :

1. Перпендикулярен векторам а иb

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и bвекторах

3. Векторы, a ,b, и c образуют правую тройку векторов

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Векторное произведение координатных ортов.

Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.

Разложим а и b по базисным векторам:

а = x₁i + y₁ j + z₁ k, b = x₂ i + y₂ j + z₂ k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

[а; b] = [x₁ i + y₁ j + z₁ k ; x₂ i + y₂ j + z₂ k] =

= x ₁x₂ [i; i] + x₁ y₂ [i; j] + x₁ z₂ [i; k] +

+ y₁ x₂ [j; i] + y₁ y₂ [j; j] + y₁ z₂ [j; k] +

+ z₁ x₂ [k; i] + z₁ y₂ [k; j] + z₁ z₂ [k; k]. (1)

По определению векторного произведения находим

[i; i] = 0, [i; j] = k, [i; k]= — j,

[j; i] = — k, [j; j] = 0, [j; k] = i,

[k; i] = j, [k; j] = — i. [k; k] = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

[а; b] = x₁ y₂ k — x₁ z₂ j — y₁ x₂ k + y₁ z₂ i + z₁ x₂ j — z₁ y₂ i

Или

[а; b] = (y₁ z₂ — z₁ y₂) i + (z₁ x₂ — x₁ z₂ ) j + (x₁ y₂ — y₁ x₂) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученная формула громоздка .Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:

Обычно формулу (З) записывают еще короче:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: