Приведение квадратичных форм к каноническому

виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x_{2 ,}

где у₁ и у₂ – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма будет содержать только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых второго порядка.

Пример.Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27 .

Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l² - 30l + 56 = 0

l₁ = 2; l₂ = 28;

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0.

Коэффициенты: а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² – 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0

l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого: - каноническое уравнение эллипса.

Полярная система координат

Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние от точки до полюса и угол между полярной осью и радиус-вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

М

r

r =

j

l

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcosj; y = rsinj; x² + y² = r²

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в декартовой прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрическими поверхностяминазываются поверхности, образованные линиями, параллельными какой-либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1) - эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

2) x² = 2py – параболический цилиндр.

Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращенияс осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: