Элементарные функции и их графики

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x , где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tg = k . Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,   где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C :
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,   где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола. У этой кривой две ветви. Произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.     Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; - функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? ); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат. Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.     График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:   Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения .Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рисунке.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции:  < x+ ( т.e. x R ), а область

значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .

5.	Степенная функция. Это функция: y = axn, где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n =-1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рисунках ( для n 0 и n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:     Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. Покажем две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. Функция (смю рисунок) является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак перед квадратным корнем ).
6.	Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y =-3, y = 3 i и y =- 3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рисунке. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции:  < x<+ ( т.e. x R ); область значений: y > 0 ; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0, а область значений:  < y<+ ( т.e. y R ); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком. Эта кривая называется синусоидой.   График функции y = cos x также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2 Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения:  < x <+ , - область значений: 1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные ( | y | 1) , всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции; - функции имеют бесчисленное множество нулей.   Графики функций y = tg x и y = ctg x показаны ниже   Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период , неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности , разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Графики этих функций получаются поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x и y = Arccos x многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y <+ . В качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рисунках жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1 ;

их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctg x и y = Arcctg x - многозначные, неограниченные функции; их область определения:  x + . Их главные значения y = arctg x и y = arcctg x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рисунках жирными ветвями.

Функции y = arctg x и y = arcctg x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения:  x + ;

их области значений:  /2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctg x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arcctg x нулей не имеет.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: