Операции над высказываниями.

Лекция №4 Математические предложения

Высказывания и их логическое значение.

Что такое алгебра логики?

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Опр. Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например, "6 – четное число" – высказывание, т.к. оно истинное.

"Рим – столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием.

Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика – интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет".

Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа "в городе А более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Опр. Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным.

Введем обозначения: истина – 1 (и); ложь – 0 (л)

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Опр. Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.

Опр. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Например, из элементарных высказываний "Петров – врач", "Петров – шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров – врач и шахматист", понимаемое как "Петров – врач, хорошо играющий в шахматы".

При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров – врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

Пусть А – высказывание "Тимур поедет летом на море",

а В – высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать какА и В. Здесь "и" – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

Операции над высказываниями.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

1.Отрицание– выражается словом "не", обозначается чертой над высказыванием или

Опр. Отрицанием высказывания называется высказывание , которое истинно когда ложно, и ложно когда – истинно.

Пример. "Луна – спутник Земли" (А); "Луна – не спутник Земли" ( ).

Таблица истинности:

2.Дизъюнкция – выражается связкой "или", обозначается символом « », т.е. – или .

Опр. Дизъюнкцией двух высказываний и , называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. В остальных случаях – истинно (логическое сложение).

Таблица истинности:

Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" – ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3"— истинны.

3.Конъюнкция – выражается связкой "и", обозначается символом « », т.е. – и .

Опр. Конъюнкцией двух высказываний и , называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В остальных случаях – ложно (логическое умножение).

Таблица истинности:

Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"— ложны.

4.Импликация – выражается связками «если ..., то», «из ... следует…», «... влечет ...»,

обозначается символом « », т.е. , и читается «если , то ».

Опр. Импликацией двух высказываний и называется высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно.

Таблица истинности:

Например, высказывания: «данный четырёхугольник – квадрат» (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В). Рассмотрим составное высказывание , понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность".

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, т.е. «данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность».

В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США – демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз – ягода, то в бензоколонке есть бензин".

5.Эквиваленция – выражается связкой слов «…тогда и только тогда, когда …».

Обозначается символом « », т.е. , и читается « тогда и только тогда, когда ».

Опр. Эквиваленцией двух высказываний и называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения высказываний и , т.е. либо оба ложны, либо оба истинны.

Таблица истинности:

Например, высказывания:

«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3»,

«23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» – истинны,

а высказывания:

«24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5»,

«21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3» – ложны.

Высказывания и , образующие составное высказывание , могут быть совершенно не связаны по содержанию.

Например: «3 больше 2» – (А), «пингвины живут в Антарктиде» – (В).

Образованное из высказываний А и В составное высказывания – истинно, хотя и не имеет смысла.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: