Второй дифференциал как квадратичная форма. Матрица Гессе.

Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных (ФНП).

Понятие евклидового пространства

Это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3

Понятие функции нескольких переменных.

Если каждой паре чисел (x и y) ставится в соответствие некоторое число рациональное число Z, то говорят, что задана функция двух переменных.

График функции двух переменных.

Это поверхность в системе координат Oxy.

Линии уровня функции двух переменных: определение, уравнение.

Линии уровня – множество на поверхности по Oxy, в каждой точке которого ф. Z=f(x, y) принимает постоянное заданное значение. Уравнение линий уровня: Z=f(x, y)

Дифференциальное исчисление ФНП

Частное и полное приращение функции двух переменных.

Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по

Поскольку дельта Z (полное приращение) без вычислительной техники, как правило, невозможно, а dz вычисляется проще, то есть дельта Z приблизительно равно dz

Частные производные функции двух переменных

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных

Геометрический смысл частных производных.

Геометрический смысл ЧП – тангенс угла наклона касательной и кривой, которые задаются системой уравнений: Z=f(x, y) и y=y0

Механический смысл частных производных.

Механический смысл ЧП: ЧП показывает, во сколько раз быстрее изменяется значение функции по сравнению с изменением одного аргумента, когда второй фиксирован

Дифференцируемость функций многих переменных.

Дифференциал в заданной точке (х0; у0) с заданными приращениями дельта х и дельта у показывает как изменилась бы функция, если бы мы заменили Z=f(x, y) на L(x; y).

Касательная плоскость. Уравнение касательной плоскости.

Если функция двух переменных дифференцируема в точке, т. е. существует обе производные ðz\dx и ðz\dy, касательную плоскость можно построить единственным образом.

Уравнение касательной плоскости: z- z0 = ðf\ ðx(x0;y0)(x – x0) + ðf\ðy(x0;y0)(y – y0)

Нормаль. Уравнение нормали.

Нормаль – прямая, для которой вектор нормали и касательной плоскости является направляющим вектором.

Уравнение нормали: (x – x0)\(_f’x(x0;y0)) = (y – y0)\(f’_y(x0;y0))

Дифференциал функции двух переменных. Формула для вычисления дифференциала.

dz = dxZ + dyZ

dz = f’_xdx + f_ydy – дифференциал функции двух переменных в точке

Производная по направлению: определение, формула для вычисления.

ðz\ ðx – производная по направлению оси Ox. ðz\ ðy – производная по направлению оси Oy. В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

ðu\ðL = ðu\ðx*cos£ + ðu\ðy*cosß + ðu\ðz*cos(фи)

Градиент: определение, свойства (градиент и производная по направлению, градиент и линии (поверхности) уровня).

Градиентом функции Z=f(x, y) в точке M0 называется вектор, составленный из частных производных.

Свойства градиента:

o Градиент указывает направление наибольшего изменения ф.

o Градиент ортогонален линии уровня (совпадает с нормалью и линией уровня)

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Теорема. Смешанные производные Z”xy и Z”yx в точке M₀ (x_o, y_o) равны, если они непрерывны в этой точке.

Первый дифференциал ф. dz = ðz\ ðx * dx + ðz\ ðy

Второй дифференциал ф. d²z = d (dz) = ð²z\ ð²x (dx)² + Z ð²x\ ðxðy * dy + ð²z\ ð²y * (dy)²

То есть, для того, чтобы вычислить второй дифференциал в точке необходимо знать вторые производные.

Формула для второго дифференциала.

d²z = d (dz) = ð²z\ ð²x (dx)² + Z ð²x\ ðxðy * dy + ð²z\ ð²y * (dy)²

Второй дифференциал как квадратичная форма. Матрица Гессе.

хз

14. Теорема о равенстве смешанных производных Ä

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: