Дифференциалы высших порядков

Дана функция z=f(x,y), дифференцируемая в точке х. Было ранее установлено, что

dz=f_x’(x,y)dx+f_y’(x,y)dy ,где х и у независимые переменные.

Зафиксируем dx и dy.

Опр. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифферен­циала первого порядка и обозначается:

d² z=d(dz)=d(f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy)=d(f_x’(x,y)dx)+d(f_y’(x,y)dy)=

=d(f_x’(x,y))dx+d(f_y’(x,y))dy=((f_xx’’(x,y))dx+(f_xy’’(x,y))dy)dx+(f(_yx’’(x,y)dx+f_yy’’(x,y)dy)dy=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²

d²z=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²

Дифференциал третьего порядка

Символически дифференциалы различных порядков можно записать следующим образом:

Замечание Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают. Рассмотрим dz=f_x’(x,y)dx+f_y’ (x,y)dy ,где х и у являются некоторыми функциями

от других переменных. В этом случае dx и dy фиксировать нельзя. Тогда

d²z= d(dz)=d(f_x’(x,y)dx + f_y’(x,y)dy)=

= d(f_x’(x,y)dx )+ d(f_y’(x,y)dy)={по свойству дифференциалов, что d(u^.v)=v^.du+u^.dv}= d(f_x’(x,y))dx+ f_x’(x,y)d(dx)+d(f_y’(x,y))dy+f_y’(x,y)d(dy) =

(f_xx’’(x,y)dx+f_xy’’(x,y)dy)dx+fx’(x,y)d²x+(f_yx’’(x,y)+f_yy’’(x,y)dy)dy+f_y’(x,y)d²y=

=f_xx’’(x,y)dx²+2f_xy’’(x,y)dxdy+f_yy’’(x,y)dy²+f_x’(x,y)d²x+f_y’(x,y)d²y

Форма дифференциалов изменилась.

Пример. Найти дифференциал второго порядка z=ln(x³+y²)

Касательная плоскость и нормаль поверхности

Дана функция z=f(x,y), дифференцируемая в точке N₀(x_0,,y_0,,z₀). Графиком её является некоторая поверхность.

Опр.Касательной плоскостью поверхности z=f(x,y) d в точке N_o, называется плоскость, для которой угол между этой плоскостью и секущей N_oN стремится к нулю при стремлении точки N к N_o по поверхности.

при ;

Касательная плоскость либо существует в точке, либо не существует.

Например, возьмём поверхность:

;

в точке (0,0,0) касательная к плоскости не существует, т.к.: ;

Частные производные в точке (0,0,0,) не существуют, значит функция не дифференцируема в этой точке.

Пусть функция дифференцируема в точке (x₀,y₀). Покажем, что плоскость, заданная уравнением z-z₀=fx’(x₀,y₀)(x-x₀)+fy’(x₀,y₀)(y-y₀) является касательной поверхностью.

Дадим и приращения и .

=

=

Известно, что т.к. функция дифференцируема, то ее точное приращение представимо в виде:

,

z-z₀ где - бесконечно малые при т.е. мы имеем, что: при т.е. при , при этом . Значит, рассматриваемая плоскость является касательной.

Опр.Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью поверхности в данной точке.

Уравнение нормали

Уравнение касательной перепишем в виде:

Тогда уравнение нормали запишется:

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке

с кооординатами

Уравнение касательной плоскости:

,

Уравнение нормали:

Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной неявно

Поверхность задана неявно уравнением:

F(x,y,z)=0.

По правилу дифференцирования неявных функций известно, что:

и

Тогда

Подставим в уравнение:

{умножим на произведение и перенесем влево}

Уравнение нормали

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и норали к поверхности F(x,y,z) , заданной неявно x(y+z)(xy-z)+8=0 в точке (2;1;3), которая лежит на поверхности.

Уравнение плоскости:

4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0; 2x+7y-5z+4=0

Уравнение нормали:

Производная по направлению

Дана функция U=f(x,y,z), дифференцируемая в точке M(x,y,z). Дадим x,y,z приращение .

Соединим M и N. Проведем диагональ и обозначим вектор Известны направляющие косинусы

Т.к. функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке M(x,y,z), то её полное

приращение представимо в виде:

где бесконечно малые при т.е.

Разделим обе части равенства на :

Но:

Тогда:

Перейдём к пределу при :

Опр. Если существует предел , то он называется производной от

функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается:

Пример. Найти производную функции u=xy²+z³-xyz в точке М(1;1;2) в направ­лении, образующимся осями координат (углы:60°,45°,30°).

Градиент функции

Дана функция u=f(x,y,z)

Опр.Вектор, координатами которого являются частные производные от функции u=f(x,y,z), называется градиентом функции и обозначается:

Пример. Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

{по условию}

Во всех точках окружности с радиусом и с центром в начале координат

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: