Общая схема исследования функций

45.

Возрастание и убывание функции

Теорема 1.2. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, для любого , то данная функция монотонно возрастает на ; если для любого , то данная функция монотонно убывает на .

Экстремумы функции

Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна на интервале , который содержит ее критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума.

Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:

1) находят область определения функции;

2) вычисляют производную ;

3) находят критические точки;

4) по изменению знака первой производной определяют их характер.

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Определение 3.1. Функция называется выпуклой на промежутке , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.

Теорема 3.1. Если во всех точках интервала вторая производная функции непрерывна и отрицательна, то функция выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута.

Определение 3.2. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба.

Теорема 3.2. Если в точке вторая производная функции равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Асимптоты функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

К вертикальным асимптотам относятся прямые линии , которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: . Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность.

Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа и .

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+Ґ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

Общая схема исследования функций

На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:

1) находят область определения функции;

2) определяют точки разрывов функции и их характер;

3) находят корни функции;

4) определяют четность или нечетность функции;

5) проверяют функцию на периодичность;

6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;

7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8) находят асимптоты функции;

9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: