Скорость произвольной точки М плоской фигуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС.

Следовательно:

1. скорость направлена перпендикулярно отрезку РМ в сторону вращения;

2. модуль ее равен .

10.Правила нахождения мгновенного центра скоростей

Рассмотрим несколько приемов, позволяющих в процессе решения задач определить местоположение МЦС.

1. Пусть известна угловая скорость тела и скорость любой его точки (рис. а).

Для определения МЦС надо:

a. Повернув вектор скорости , на 90⁰ в сторону вращения тела, найти направление, на котором лежит МЦС;

b. На найденном направлении отложить отрезок AР равный и получить положение точки Р, которая является мгновенным центром скоростей.

2. Пусть известны скорости двух точек плоской фигуры и и эти скорости не параллельны друг другу (рис. б).

Для определения МЦС надо из точек А и В восстановить перпендикуляры к направлению скоростей до точки их пересечения P, которая и будет точкой МЦС.

При этом .

3. Пусть известны скорости двух точек плоской фигуры и параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку АВ.

МЦС находится из условия, что модули скоростей точек А и В пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС:

Возможны два варианта:

a. МЦС находится между точками А и В, когда скорости направлены в разные стороны (рис. в);

b. МЦС находится за пределами отрезка АВ, когда скорости не равны и направлены в одну сторону (рис. г).

4. Пусть скорости двух точек плоской фигуры и равны по модулю и параллельны друг другу. При этом они могут быть перпендикулярны или не перпендикулярны отрезку АВ.

МЦС в этом случае располагается в бесконечности. Скорости всех точек тела одинаковы и .

5. При качении тела по неподвижной поверхности скорости соприкасающихся точек равны в том случае, если отсутствует проскальзывание между телами. Тогда МЦС находится в точке соприкосновения тела с поверхностью.

11.Теорема о сложении ускорений

Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигуры вокруг полюса:

Ускорение определяется по правилам вращательного движения, то есть равно сумме вращательного и центростремительного ускорений:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.

Диск радиуса R=10 см вращается вокруг оси Ох по закону ( в рад, t в сек).

Чему будет равна скорость точки А при t =2c?

Варианты ответов.

1. 80

2. 100

3. 70

4. 50

Решение.

· Дифференцируя закон движения, получим угловую скорость диска:

При t=2c эта скорость будет равна

· По формуле Эйлера определим скорость точки А, которая расположена от оси вращения на расстоянии R:

Ответ:3. .

ЗАДАЧА 2.

В планетарном механизме с внутренним зацеплением колесо1 катится по колесу 2. Механизм приводится в движение кривошипом ОА, угловая скорость которого = 20 рад/с. Радиусы колес .

Чему равна угловая скорость колеса 1?

Варианты ответов.

1. 80

2. 100

3. 40

4. 50

Решение.

Длина вращающегося стержня ОА равна

По формуле Эйлера определим скорость точки А:

Диск 1 катится по криволинейной поверхности 2.

При этом мгновенный центр скоростей диска1 находится в точке Р , в которой он соприкасается с поверхностью 2.

Разделив скорость точки А на расстояние до мгновенного центра скоростей, получим угловую скорость диска 1:

Ответ:3.

ЗАДАЧА 3.

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О₁О₂ по закону . Каким будет характер движения тела при t=1c?

Варианты ответов.

1. Равнозамедленным

2. Равномерным

3. Ускоренным

4. Замедленным

5. Равноускоренным

Решение.

Путем дифференцирования закона движения по времени определим угловую скорость тела:

Угловая скорость тела постоянна, следовательно, вращение является равномерным.

Ответ:2.Вращение является равномерным.

ЗАДАЧА 4.

Укажите последовательность точек для определения направления и вычисления скоростей точек многозвенного механизма (см. рис.), если задана угловая скорость вращения кривошипа .

Решение.

Порядок решения задачи следующий:

· Зная угловую скорость вращения кривошипа O₁D , определяем скорость точки D: ;

· Зная скорость точки D и линию действия скорости точки В (перпендикулярно отрезку О₂В), найдем мгновенный центр скоростей звена DE  точку ;

· Определяем угловую скорость вращения звена DE: ;

· Определяем скорость точки В: ;

· Определяем скорость точки Е: ;

· Зная скорость точки E и линию действия скорости точки A (перпендикулярно отрезку О₃А), найдем мгновенный центр скоростей звена АE  точку ;

· Определяем угловую скорость вращения звена АE: ;

· Зная угловую скорость вращения звена АЕ , определяем скорость точки С: ;

· Зная угловую скорость вращения звена АЕ, определяем скорость точки А: ;

· Зная скорость точки С и линию действия скорости точки F, найдем мгновенный центр скоростей звена CF  точку ;

· Определяем угловую скорость вращения звена CF: ;

· Зная угловую скорость вращения звена CF , определяем скорость точки F: .

Ответ:при определении скоростей узлов многозвенного механизма его точки рассматриваются в следующей последовательности: D, B, E, A, C F.

ЗАДАЧА 5.

Тело равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью .

На какой угол повернется тело за время t =2 с?

Варианты ответов.

1. 3 рад.

2. 12 рад.

3. 120⁰

4. 360⁰

Решение.

По условию задачи вращение тела является равномерным. Поэтому, угол, на который тело повернется за некоторый промежуток времени, следует искать по формуле:

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>t=6в?™2=12 (</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t>СЂР°Рґ).</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Ответ:2.

ЗАДАЧА 6.

Скорости точек C и D прямоугольного треугольника (АВ=6м, АВС=30⁰), движущегося плоскопараллельно, направлены так, как показано на рисунке.

Определить мгновенную угловую скорость треугольника , если скорость точки С равна 6 м/с.

Варианты ответов.

1. 4

2. 1

3. 2

4. 0.5

Решение.

Мгновенный центр скоростей, как известно, можно найти, восстановив перпендикуляры к направлению скоростей точек C и D.

Таким образом, получим, что МЦС находится в точке А.

Чтобы получить угловую скорость тела в данный момент времени, необходимо известную скорость точки С поделить на расстояние до мгновенного центра скоростей:

где

Получим, что .

Ответ:3. .

ЗАДАЧА 7.

Два шкива соединены ременной передачей. Точка А одного из шкивов имеет скорость . Определить скорость точки В другого шкива.

Варианты ответов.

1. 40

2. 10

3. 20

4. 5

Решение.

Зная скорость точки А можно найти угловую скорость левого шкива:

Умножив эту угловую скорость на расстояние до точки С, найдем ее скорость, которая в свою очередь будет равна скорости точки D:

Поделив скорость точки D на расстояние до оси вращения, получим угловую скорость правого шкива:

Скорость точки В получим, умножая угловую скорость а расстояние :

Ответ:4. .

ЗАДАЧА 8.

Диск радиуса R=10 см вращается вокруг оси Ох по закону , где ─ угол поворота тела в радианах.

Найти величину нормального ускорения точки А в момент времени t=2c.

Варианты ответов.

1. 1600

2. 1440

3. 1000

4. 360

Решение.

Дифференцируя по времени закон вращательного движения, получим угловую скорость диска, а затем и угловое ускорение вращающегося тела:

Подставляя в полученное выражения значение времени, получим, что при t=2 c угловая скорость будет равна

Теперь нормальное ускорение точки А, лежащей на краю диска, можно найти по формуле:

Ответ:2.

ЗАДАЧА 9.

Груз 1 имеет скорость V.

Чему равна угловая скорость подвижного блока 3?

Варианты ответов.

Решение.

Скорость точки А равна заданной скорости тела 1.

Мгновенный центр скоростей подвижного блока 3 находится в точке Р. Поделив скорость точки А на расстояние до мгновенного центра скоростей, получим угловую скорость тела 3:

Ответ:4.

ЗАДАЧА10.

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz согласно уравнению , где ─ угол поворота тела в радианах.

Выберите рисунок, на котором правильно показаны направления угловой скорости и углового ускорения в момент t=0.5c?

Решение.

Дважды дифференцируя по времени закон вращательного движения, получим сначала угловую скорость, а затем и угловое ускорение вращающегося тела:

Подставляя в полученные выражения значение времени, получим, что при t=0.5c угловая скорость и угловое ускорение будут равны

Угловая скорость положительна, следовательно, направлена в положительном направлении вращения (против часовой стрелки, если глядеть с положительного направления оси вращения), а угловое ускорение отрицательно и направлено по этой причине в противоположную сторону.

Ответ:правильные направления показаны на рисунке №1.

ЗАДАЧА 11.

Подвижный конус А катится без скольжения по неподвижному конусу В, имея неподвижную точку О.

Определить с каким из показанных на рисунке направлений совпадает мгновенная ось вращения.

Варианты ответов.

Решение.

В данном случае картина аналогична той, которая имеет место при качении колеса по неподвижной поверхности. Как известно, в этом случае, если отсутствует проскальзывание, мгновенный центр скоростей катящегося колеса находится в точке соприкосновения колеса и поверхности.

В данном случае подвижный конус катится по поверхности неподвижного конуса и мгновенная ось вращения подвижного конуса также проходит по линии соприкосновения поверхностей, то есть по прямой .

Ответ:1. .

ЗАДАЧА 12.

Ось мельничного бегуна ОС вращается вокруг вертикальной оси Оz с угловой скоростью .

Длина оси ОС=0.8 м, радиус бегуна R=0.6 м.

Найти мгновенную угловую скорость бегуна.

Варианты ответов.

Решение .

Умножив угловую скорость на длину стержня ОС, получим модуль скорости точки С:

Мгновенный центр катящегося колеса находится в точке P  в точке соприкосновения колеса с опорной поверхностью.

Чтобы получить угловую скорость колеса , надо скорость точки С разделить на расстояние от точки С до мгновенного центра скоростей, то есть на длину отрезка СР:

Ответ:3. = .

Маковкин Георгий Анатольевич

Аистов Анатолий Сергеевич

Куликов Игорь Сергеевич

Юдников Сергей Георгиевич

Баранова Алла Сергеевна

Никитина Елена Александровна

Круглова Татьяна Евгеньевна

Орехова Ольга Ивановна

Лупанова Галия Алексеевна

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: