При решении обратной задачи

, (19)

Очевидно, что для ИСЗ следует в формулах (19), (17), (18) положить M = 1.

Формула (17) позволяет вычислить массу М небесного тела в массах Земли по известной большой полуоси a и периоду Т его спутника.

Так как, ИСЗ выводятся на орбиту, как правило, в перигее, то скорость запуска спутника V_H может быть принята за скорость Vq в перигее и вычислена по интегралу энергии (8) или (11). Подстановкой в него r = q. это же уравнение позволяет вычислить скорости спутника V в любой точке его орбиты на расстоянии r от центра Земли, но проще воспользоваться значением круговой скорости, вычисленной по формуле (9) или (12) при r = a, а затем разделить равенство (1) на

V_a² = γ * M/a

и получить

, (20)

Положив в формуле (20) r = q или r = Q получим соответственно Vq или V_Q, т. е. скорость ИС в перигее и в апогее.

Расчет орбит КА значительно сложнее расчета орбит ИС, поскольку задача двух тел определяет только нижний предел начальной скорости необходимой для вывода аппарата на орбиту, а сама орбита и скорость движения КА определяется суммарным гравитационным воздействием небесных тел, в поле тяготения которых он находится (ограниченная задача трех и более тел).

Рассмотрим в упрощенном виде некоторые случаи движения КА.

Примем, что запуск КА произведен к Луне в направлении орбитального движения Земли (рис 3) в день, когда фаза Луны близка к последней четверти. При таком запуске начальная скорость аппарата V_H относительно Солнца складывается из его скорости запуска V_H относительно Земли и из орбитальной скорости Земли V_з, т. е.

V_H = V_з + V_H

причем значение V_H ≥V_П и V_H < V_П параболической скорости относительно Солнца на расстоянии 1 а. е. от него.

По мере удаления от Земли скорость КА V относительно Земли (геоцентрическая скорость) постепенно уменьшается за счет земного притяжения, что вызывает уменьшение его скорости V относительно Солнца (гелиоцентрической скорости); поэтому в поле тяготения Солнца КА движется по эллиптической орбите с постепенно уменьшающимся эксцентриситетом.

Рассмотрим изменение геоцентрической скорости КА.

При запуске с Земли его скорость V = V_H кинетическая энергия относительно Земли

T_H = mV_H²/2, (21)

Поле тяготения Земли, направленное против движения КА, уменьшает его скорость V, а поле тяготения Луны, направленное по движению аппарата, увеличивает эту скорость. В результате скорость КА меняется совместным действием полей тяготения обоих небесных тел. Но с целью значительного упрощения задачи мы будем рассматривать ее в рамках ограниченной задачи двух тел. Для этого пренебрегаем действием на КА лунного притяжения вплоть до точки «равного притяжения». То есть той точки пространства между Землей и Луной, в которой гравитационные ускорения обоих небесных тел численно равны друг другу. Обозначив массы Земли и Луны соответственно через М₁ и М₂ их радиусы – через R₁ и R₂ расстояние между этими телами – через r₀, а расстояние от них точки равного притяжения – через ρ₁ и ρ₂ = r₀ – ρ₁ получим

, (22)

и помня, что M₂ = M₁/81 и r₀ = 60R найдем ρ₁ и ρ₂ в радиусах Земли.

В точке равного притяжения скорость КА уменьшается до минимума Vm, причем изменение кинетической энергии аппарата

_ΔT = T_H – Tm = (mV_H²/2) – (mV_m²/2)

сопровождается изменением _ΔП его потенциальной энергии относительно центра Земли, которая в момент старта аппарата была

П_Н = -mγ*M₁/R_{1 ,}

а в точке равного притяжения стала

П_m = -mγ*M₁/ρ₁,

а так как _ΔЕ = -_ΔП, то

mV_H²/2 – mV_m²/2 = mγM₁(1/R₁ – 1/ρ₁),

откуда

V_m² = V_H² - 2γM₁(1/R₁ – 1/ρ₁), (23)

Полагая M₁ = 1 и R₁ = 1 и принимая, поэтому γ = 62,50, получим простую формулу для скорости V_m КА.

После прохождения аппаратом точки равного притяжения лунное поле тяготения действует сильнее земного, и поэтому по мере приближения аппарата к Луне его скорость снова возрастает. Теперь для простоты расчетов будем считать действие Земли на КА незначительным (хотя это не совсем верно) и учитывать только действие Луны. Тогда конечная скорость сближения КА с Луной найдется из аналогичного равенства

V_К² = V_m² + 2γM₂(1/R₂ – 1/ρ₂), (24)

Расчет орбит для запуска КА, к планетам Солнечной системы также очень сложен и требует учета возмущений. В космическом пространстве такой аппарат, подобно телам Солнечной системы, будет двигаться под действием силы солнечного притяжения, и поэтому его простейшая орбита может быть представлена эллипсом, в одном из фокусов которого находиться Солнце. Начальная скорость V_H КА относительно Солнца определяется условиями его полета и различна при запуске к верхним и нижним планетам, орбиты которых в первом приближении можно считать круговыми.

При запуске к верхним планетам перигельное расстояние КА

q₀ = a₀,

а афелийное расстояние Q = a₁, где a₀ и a₁ – соответственно средние расстояния Земли и планеты от Солнца (рис 23), выраженные в а. е. Из этих соображений можно подсчитать величину большой полуоси a (в а. е.) орбиты космического аппарата и вычислить период Т его обращения вокруг Солнца в годах, который затем, можно перевести в месяцы или сутки.

Очевидно, что

t = T/2, (25)

даст продолжительность полета КА от Земли до планеты.

Скорость V_q в перигелии и V_Q в афелии вычисляется из интеграла энергии

или

(26)

где M₀ – масса Солнца принята за единицу, r и a выражаются в а. е., а V – в км/с.

Проще сначала найти по формуле (26) круговую скорость КА (при r = a), а затем, разделив равенство (26) на выражение для V_a, получить формулу, аналогичную (20), по которой уже вычислять V_q и V_Q.

Нужно иметь в виду, что вычисленное значение V_Q будет, отличатся от действительного значения за счет возмущающего действия на КА главным образом со стороны Земли, Луны и планеты, к которой аппарат направлен. Поэтому вычисленное значение Va правильнее назвать условной скоростью КА в афелии.

Поскольку запуск КА производится в перигелии его орбиты, то его начальная скорость относительно Солнца может быть принята V_H = V_Q, откуда можно найти скорость КА Vq относительно Земли в направлении ее движения, называемую дополнительной скоростью

(27)

где – орбитальная скорость Земли.

Однако значение Vq часто оказывается меньшим скорости освобождения с Земли V_Π = 11,18 км/с, и поэтому Vq не может служить начальной скоростью запуска V_H КА с Земли. Для расчета величины начальной скорости V_H обратимся к интегралу энергии для поля Земного тяготения.

Интеграл напишем в виде

, (28)

где M – масса Земли.

Так как можно считать, что запуск КА производится с поверхности Земли при r = R, то согласно (28),

, (29)

С другой стороны, если бы земное притяжение отсутствовало, то дополнительной скорости Vq было бы достаточно, чтобы аппарат ушел от Земли на расстояние r → ∞, согласно (28)

, (30)

Подставляя значение постоянной величины из (29) в (30) и помня, что

,

получим начальную скорость запуска космического аппарата

, (31)

Подобным же образом выбирается простейшая орбита для запуска КА к нижним планетам, но техническое обеспечение начальной скорости V_H здесь более затруднено тем обстоятельством, что эта скорость должна быть меньше орбитальной скорости Земли . Так как при КА будет обращаться вокруг Солнца по земной орбите. А при V_H > V_з – за орбитой Земли. В то же время скорость запуска V_H с Земли должна быть не ниже V_П, иначе КА станет спутником Земли. Поскольку в этом случае аппарат запускается в афелии орбиты, то V_H = V_Q и тогда

(32)

т. е. должна быть направлена против орбитального движения Земли. Скорость запуска вычисляется по формуле (32).

Зная продолжительность полета КА к планете, можно определить конфигурацию планет в моменты t₁ запуска и t₂ сближения аппарата с планетой. Пусть в момент t₁ гелиоцентрическая долгота Земли, находящейся в точке П, равна l₀ а гелиоцентрическая долгота планеты Р равна l (рис 4). Через промежуток времени t = t₂ – t₁ Земля придет в точку S, а планета - в точку А, диаметрально противоположную П, и в момент t₂ гелиоцентрическая долгота Земли будет

l₀^' = l₀ + ω₀t, (33)

а гелиоцентрическая долгота планеты

l^' = l + ω₁t = 180˚ + l₀, (34)

где ω₀ и ω₁ – соответственно средние угловые движения Земли и планеты за единицу времени, в которых выражен интервал t.

Разность гелиоцентрических долгот планеты и Земли в момент t₁ равна:

l - l₀ = 180˚ - ω₁t, (35)

а в момент t₂

l' - l₀' = 180˚ - ω₀t, (36)

Из треугольника РСП находим, что для момента t₁ конфигурация планеты

_Δλ = 180˚ - (l – l₀) – δ, (37)

причем

sin _Δλ = a₁/a₀ * sin δ, (38)

Выразим

sin δ = sin [(l – l₀) +_Δλ₁],

после преобразований получим

сtq _Δλ₁ = a₀/a₁ * cosec (l – l₀) – ctq (l - l₀), (39)

откуда находится конфигурация _Δλ₁.

Если же для того же момента необходимо вычислить гелиоцентрическое расстояние планеты

(40)

то конфигурацию планеты проще вычислить по формуле

sin _Δλ₁ = a₁/ρ₁ * sin (l - l₀), (41)

Аналогично вычисляется элонгация планеты _Δλ₂ = ∠ASC, и ее гелиоцентрическое расстояние ρ₂ для момента t₂.

Все вычисления можно выполнять на логарифмической линейке с точностью: a и r – до 0,01 а. е., V – до 0,1 км/с, l – до 1˚ и t – до 0,5 суток

Задание

1. Вычислить круговую и параболическую скорость на поверхности Солнца, Луны, Земли и планет: 1) Марса; 2) Юпитера; 3) Сатурна; 4) Урана; 5) Нептуна; 6) Венеры; 7) Меркурия.

2. Вычислить круговую и параболическую скорость на расстояниях, равных заданным значениям (по приложению Б) от поверхности одного из этих тел.

3. Сравнить между собой вычисленные в пунктах 1 и 2 величины и сделать вывод о закономерности их изменения с расстоянием от центра небесного тела.

4. Определить период обращения и орбитальную скорость ИСЗ, обращающегося по круговой орбите на высоте: 1) 630 км; 2) 2630 км; 3) 4630 км; 4) 6630 км; 5) 8630 км; 6) 10630 км; 7) 12630 км; 8) 14630 км.

5. По общим результатам пункта 4 построить на одном чертеже график изменения периода обращения и скорости ИСЗ в зависимости от радиуса его орбиты и, сопоставив графики с результатом пункта 3, сформулировать вывод о причине изменения скорости и периоде обращения с расстоянием.

6. Определить период обращения и орбитальную скорость искусственного спутника, обращающегося на заданной высоте (приложение В) над поверхностью: 1) Луны; 2) Меркурия; 3) Венеры; 4) Земли; 5) Марса; 6) Юпитера; 7) Сатурна; 8) Урана.

2. Отчётность по курсовой работе.

Для защиты курсовой работы студент должен представить отчет, выполненный согласно ЕСКД. Объем отчёта должен составлять не менее 20 листов формата А4, графический материал может быть выполнен от руки или на принтере.

В курсовой работе необходимо представить:

- титульный лист;

- бланк задания на выполнение курсовой работы;

- введение;

- содержание (расчетная часть курсовой работы);

- заключение;

- графический материал;

- список литературы.

Библиографический список

1. Инженерный справочник по космической технике. / под ред. Караева И. И., Кудряшова А.А. М. Военное изд-во МО СССР 1963 г.

2. Гущин В.Н. Основы устройства космических аппаратов: Учебник для вузов. — М.: Машиностроение, 2003. — 272 с. : ил..

3. Главный редактор В.П. Глушко Советская энциклопедия Космонавтика - М.: Наука 1985. – 528 с.

Приложение А

(обязательное)

Приложение Б

(обязательное)

Приложение В

(обязательное)

Приложение Г

(обязательное)

1 Программа по освоению Луны СССР

2 Программа по освоению Луны США

3 Программа по освоению Луны Китая

4 Программа по освоению Луны Индии

5 Программа по освоению Луны Европы

6 Программа по освоению Луны Российской Федерации

7 Программа по освоению Марса СССР

8 Программа по освоению Марса США

9 Программа по освоению дальнего космоса СССР (РФ)

10 Программа по освоению дальнего космоса США

11 Программа по освоению дальнего космоса Европы

12 Программа по освоению дальнего космоса Китая

13 Космические аппараты серии Вояджер

14 Космические аппараты серии Маринер

15 Космические аппараты серии Луна

16 Космические аппараты серии Венера

17 Космические аппараты серии Марс

18 Космический аппарат КубСАТ (наноспутник)

19 Пилотируемые космические корабли СССР

20 Пилотируемые космические корабли США

21 Пилотируемые космические корабли Китая

22 Транспортные грузовые космические аппараты РФ

23 Транспортные грузовые космические аппараты США

24 Транспортные грузовые космические аппараты Китая

25 Транспортные грузовые космические аппараты Европы

26 Орбитальные станции Салют

27 Орбитальные станции Мир

28 Орбитальные станции МКС

29 Орбитальные станции КНР

30 Космический аппарат Апполон

31 Геостационарные космические аппараты РФ

32 Геостационарные космические аппараты США

33 Геостационарные космические аппараты Европы

34 Геостационарные космические аппараты Китая

35 Многоразовый космический аппарат

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: