Расчет критической скорости вращения вала

Анализ проблемы и выбор метода решения

1.1. Анализ требований

Проектируемая система должна работать в диалоговом режиме, обеспечивая удобный интерфейс пользователя. Взаимодействие с пользователем необходимо для ввода и представления данных, организации сценария работы, контроля промежуточных итогов. Таким образом, разработка интерфейса системы может считаться первой задачей проектируемой САПР.

Система должна сохранять введенные раз данные для их использования в следующие сеансы работы. Поэтому задачу организации хранения данных можно считать вторым компонентом системы.

Проектируемая САПР должна выполнять ряд стандартных для любого вала расчетов:

- подбор минимального из условия прочности диаметра, а также приведение его к посадочному размеру стандартного подшипника.

- выбор стандартных подшипников качения из существующей базы данных и их проверка на грузоподъемность.

- проверочный расчет вала на статическую прочность при совместном действии кручения и изгиба;

- расчет критической скорости вращения вала, а также расчет на прочность при рабочей частоте вала;

Каждый из перечисленных расчетов является отдельной задачей проектирования системы.

Графическое представление результатов расчетов (эпюры, графики, диаграммы) можно осуществить с помощью средств табличного процессора. Эту подзадачу можно считать еще одним компонентом системы. Данные для выбора параметров расчета, такие как данные типоразмеров подшипников качения, механические характеристики материалов, можно организовать в форме баз данных, а задачу корректного выбора можно считать еще одной компонентом системы. Разберем подробнее задачи, требующие решения.

Подбор диаметров участков проектируемого вала.

Исходные данные: вращающий момент М и материал вала.

Проектирование вала обычно выполняется по условию прочности. При работе вал испытывает сложную деформацию — кручение с изгибом Проектный расчет при сложном сопротивлении не представляется возможным. Поэтому диаметр вала обычно подбирают из условия прочности только на чистое кручение. Чтобы подобранный диаметр удовлетворял условию прочности сложного сопротивления, допускаемое напряжение на кручение занижают. Это приводит к получению большего диаметра. Расчет диаметра выполняют по формуле:

(1)

Заниженное допускаемое касательное напряжение обычно принимают равным 25 - 30 МПа.

Полученный диаметр округляют до целых миллиметров в большую сторону. Посадочный диаметр под подшипник качения определяют из стандартного ряда, пользуясь таблицей стандартных подшипников.

Проверочные расчеты.

Несмотря на то, что диаметр вала подбирался по заниженному допускаемому напряжению и, следовательно, больше чем требуется только на чистое кручение, его необходимо проверить. Проверочный расчет при сложной деформации, в отличие от проектного уже выполнить несложно.

Расчет выполняется с помощью одной из подходящих для данного случая теорий прочности. В нашей работе воспользуемся III теорией прочности. Эквивалентное напряжение для вала круглого сечения определяется по формуле:

(2)

Изгибающий момент в этой формуле представляет собой геометрическую сумму изгибающих моментов, действующих в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

(3)

Рис.1. Расчетная схема для расчета изгиба вала.

Для построения эпюры изгибающего момента в горизонтальной плоскости вычисляем опорные реакции. Из уравнений равновесия опорные реакции в горизонтальной плоскости равны:

(4)

(5)

Для построения эпюры изгибающего момента в вертикальной плоскости вычисляем опорные реакции.

Из уравнений равновесия опорные реакции в вертикальной плоскости равны:

(6)

(7)

Суммарный изгибающий момент рассчитывается по формуле (3). На концах балки он равен нулю. Далее из двух ненулевых значений в точках 2 и 3 выбирается наибольшее. Формула выбора наибольшего следующая:

Если Мт2 < МтЗ, то Ми = МтЗ, иначе Ми = Мт2 (8)

Чтобы по формуле (2) вычислить эквивалентное напряжение, нужно предварительно определить момент сопротивления сечения вала изгибу по формуле:

(9)

Проверка выполняется путем расчета коэффициента запаса прочности:

(10)

Предел текучести — табличная величина, выбирается для заданного материала. Например, для Ст-45 он равен 360 МПа.

Расчетный коэффициент запаса должен быть не меньше допускаемого, величина которого задана и равна 2-м.

При невыполнении условия прочности (10) диаметр вала следует увеличить.

(11)

Расчет критической скорости вращения вала

В тех случаях, когда массой вала можно пренебречь, расчет критической скорости вращения вала можно выполнить, не применяя сложных методов. Рассмотрим решение задачи для двухопорного вала с тремя массами. Чтобы вывести расчетную формулу, нужно предварительно задать форму колебаний. Это важное допущение. Будем искать решение в виде гармонических колебаний:

(12)

где i – номер массы; Δ_i – смещение массы от первоначального положения; A_i – амплитуда колебаний i-той массы (максимальное смещение от начального положения); ω – угловая частота вращения; t – время; φ₀ – начальное смещение, равно нулю.

Таких уравнений составляем столько, сколько сосредоточенных масс расположено на вале, в нашем случае, это число равно трем.

Согласно принципу Даламбера, динамическую механическую систему можно рассматривать как статическую систему, находящуюся в равновесии, если приложить к ней силы инерции. Это позволяет определить смещение масс с помощью метода сил. Для трех перемещений составляем 3 канонических уравнения метода сил:

(13)

где (14)

силы инерции соответствующих сосредоточенных масс.

Ускорение рассчитывается как вторая производная от перемещения:

(15)

Приравниваем правые части уравнений (23) и (24):

В результате получаем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными А₁, А₂, А₃.

Сначала разделим, левые и правые части на синус. Затем перепишем систему, приведя ее к каноническому виду относительно неизвестных амплитуд А₁, А₂, А₃: