Выравнивание экспериментальных кривых и графические методы определения параметров уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА»

Кафедра ЭАТ

Лабораторная Работа №2

АППРОКСИМАЦИЯ

Выполнил:

группа 3301
Проверил:

Дата: ____ ____ 20___г.

Самара 2012

Содержание

1. Методы подбора эмпирических формул...……………………………..……3

2. Выравнивание экспериментальных кривых и графические методы определения параметров уравнений………......................................................3

3. Аппроксимация экспериментальных данных методом среднеарифметического………………………………………………..….……7

4. Аппроксимация экспериментальных данных методом наименьших квадратов…………………………………………………………………….…9

5.Список использованных источников………………………………………..11

Методы подбора эмпирических формул

Эксперимент - метод изучения, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются определенные процессы и явления. Результатом экспериментальных исследований является ряд измерений, когда каждому значению функции y₁,y₂, ..., y_n соответствует определенное значение аргумента x₁,x₂, ..., x_n.

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции, связывающие между собой экспериментальные данные.

y =f(х) (1)

Такие формулы называют эмпирическими. Эмпирические формулы не являются основой для построения теории описывающей протекающий процесс, они лишь обобщают функциональной зависимостью отдельные точки, полученные в результате проведения эксперимента. Они подбираются и используются лишь в пределах измеренных значений аргумента x₁— x_n и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение, описывающее протекающие процессы сложное, требует громоздких вычислений, или же процесс вообще не описывается аналитическим выражением, то эффективнее пользоваться упрощенной приближенной - эмпирической формулой.

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом, эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции — аппроксимирующими.

Аппроксимация от лат. approximo - приближаюсь.

Выравнивание экспериментальных кривых и графические методы определения параметров уравнений

При анализе и представлении результатов исследований необходимо по возможности стремиться к использованию простых функций. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую,

построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой в прямую линию вводят новые переменные:

X=f_l(x,y),Y=f₂(x,y) (2)

В искомом уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

У=а + bХ (3)

Значения X и Y можно вычислить на основе решения системы уравнений (2). Далее можно построить прямую, по которой легко графически

вычислить параметры а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (тангенс угла наклона прямой с осьюX): b=tgb=(Yi-a)/Xi

Выравнивание может быть применено в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой. Так, если экспериментальный график имеет вид, показанный на рисунке 1а, то необходимо применить формулу

y = ах^b (4)

Заменяя X=lgx и Y=lgy, получим Y=lga+bX. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Пример: подобрать эмпирическую формулу, описывающую результаты следующих измерений:

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоугольных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию, следовательно, нет необходимости выравнивания, и их можно выразить зависимостью (2). Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (2). Тогда, а +31b= 4735; а +1b= 508, откуда при совместном решении данных выражений следует b=140,9 и а=367,1. Эмпирическая формула примет вид

у= 367,1+140,9х.

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Однако данный метод имеет существенные погрешности, т.к. координаты крайних точек заранее признаются лежащими на прямой.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: