|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ
Теоретические сведения и примеры решения задач
Выборочный коэффициент корреляции:
,
где , - выборочные средние Х и Y;
- среднее значение величины ХY;
, - выборочные средние квадратические отклонения Х и Y.
Выборочное уравнение регрессии Y на X:
Выборочное уравнение регрессии X на Y:
Для оценки достоверности коэффициента корреляции проверяется гипотеза Н0 об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е. Н0: , по следующей схеме:
а) вычисляется статистика отклонения выборочного коэффициента корреляции от генерального коэффициента корреляции , где n – число наблюдений;
б) по таблице критических точек (двусторонней критической области) распределения Стьюдента (таблица А3 Приложения А) на уровне значимости и при числе степеней свободы находится значение ;
в) если не выполняется неравенство , гипотеза Н0 отвергается, т.е. выборочный коэффициент корреляции существенно
отличается от нуля, что свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.
Задача.Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (Х) получены статистические данные по 70 предприятиям за год.
Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость, необходимо: а) определить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи; б) оценить достоверность коэффициента корреляции на 5 %-ном уровне значимости; в) найти уравнения прямых регрессии.
Решение. Вычислим средние выборочные и :
Найдем среднее значение величины ХY:
Вычислим дисперсии, а затем средние квадратические отклонения Х и Y:
.
Вычислим выборочный коэффициент корреляции:
Полученное значение выборочного коэффициента корреляции показывает, что между переменными Х и Y существует достаточно тесная связь, близкая к линейной. Поскольку , то эта связь возрастающая, т.е. по мере увеличения основных фондов увеличивается объем производства.
Оценим достоверность коэффициента корреляции на 5%-ном уровне значимости. Для этого найдем статистику критерия по формуле :
Для уровня значимости и числа степеней свободы по таблице А3 Приложения А находим критическое значение статистики . Поскольку , то коэффициент корреляции достоверен на 5%-ном уровне значимости.
Выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х имеет вид:
Подставляя все найденные значения в последнее уравнение, получаем:
Аналогично найдем выборочное уравнение прямой регрессии Х на Y:
Варианты задачи № 9
Для исследования зависимости величины Y от величины Х получено распределение, статистические данные сведены в таблицу. Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость, необходимо:
а) определить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи;
б) оценить достоверность коэффициента корреляции на 5%-ном уровне значимости;
в) найти уравнения прямых регрессии и построить их на одном чертеже,
г) используя соответствующее уравнение регрессии, получить среднюю величину Y, если Х = х0, или среднюю величину Х, если Y =y0.
1. Х – расходы фирмы на рекламу (ден. ед.), Y – еженедельные продажи фирмы (ден. ед), ден. ед.
2. Распределение 100 деревьев, Х – диаметр дерева (м), Y – высота дерева (м), м.
Y
| X
| 0-0,8
| 0,8-1,6
| 1,6-2,4
| 2,4-3,2
| 3,2-4
| 4-4,8
| 0,16-0,22
|
|
|
|
|
|
| 0,22-0,28
|
|
|
|
|
|
| 0,28-0,34
|
|
|
|
|
|
| 0,34-0,4
|
|
|
|
|
|
| 0,4 -0,46
|
|
|
|
|
|
| 0,46-0,52
|
|
|
|
|
|
| 0,52-0,58
|
|
|
|
|
|
| 0,58-0,64
|
|
|
|
|
|
|
3. Распределение 100 шоферов-любителей, Х – возраст шофера (лет), Y – число водителей, использующих ремень безопасности, лет.
Y
| X
| 0-10
| 10-20
| 20-30
| 30-40
| 40-45
| 15-18
|
|
|
|
|
| 18-21
|
|
|
|
|
| 21-24
|
|
|
|
|
| 24-27
|
|
|
|
|
| 27-30
|
|
|
|
|
|
4. Распределение 116 телевизоров, Х – чувствительность видеоканала (мкВ), Y – чувствительность звукового канала (мкВ), мкВ.
Y
| X
| 0-100
| 100-200
| 200-300
| 300-400
| 400-500
| 500-600
| 0-100
|
|
|
|
|
|
| 100-200
|
|
|
|
|
|
| 200-300
|
|
|
|
|
|
| 300-400
|
|
|
|
|
|
| 400-500
|
|
|
|
|
|
| 500-600
|
|
|
|
|
|
|
5. Распределение 100 предприятий, Х – производительность труда (тыс. руб./чел.), Y – себестоимость продукции (тыс. руб./изд.), тыс. руб./чел.
Y
| X
| 2,7-3,2
| 3,2-3,7
| 3,7-4,2
| 4,2-4,7
| 4,7-5,2
| 5,2-5,7
| 2,0-2,6
|
|
|
|
|
|
| 2,6-3,2
|
|
|
|
|
|
| 3,2-3,8
|
|
|
|
|
|
| 3,8-4,4
|
|
|
|
|
|
| 4,4-5,0
|
|
|
|
|
|
| 5,0-5,6
|
|
|
|
|
|
| 5,6-6,2
|
|
|
|
|
|
|
6. Распределение 100 предприятий, Х – затраты на электроэнергию (тыс. руб./ед. продукции), Y – прибыль от реализации изделия (тыс. руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 6,0-6,8
| 6,8-7,6
| 7,6-8,4
| 8,4-9,2
| 9,2-10,0
| 16-20
|
|
|
|
|
| 20-24
|
|
|
|
|
| 24-28
|
|
|
|
|
| 28-32
|
|
|
|
|
| 32-36
|
|
|
|
|
| 36-40
|
|
|
|
|
|
7. Распределение 50 школьников, Х – мышечная сила правой кисти рук (кг), Y – мышечная сила левой кисти рук (кг), кг.
Y
| X
| 11,8-12,2
| 12,2-12,6
| 12,6-13
| 13-13,4
| 13,4-13,8
| 13,8-14,2
| 13.8-14,2
|
|
|
|
|
|
| 14,2-14,6
|
|
|
|
|
|
| 14,6-15
|
|
|
|
|
|
| 15-15,4
|
|
|
|
|
|
| 15,4-15,8
|
|
|
|
|
|
| 15,8-16,2
|
|
|
|
|
|
| 16,2-16,6
|
|
|
|
|
|
|
8. Распределение 100 фабрик, Х – число изделий, изготавливаемых рабочим за смену (шт.), Y – размер заработной платы (тыс. руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 55-115
| 115-175
| 175-235
| 235-295
| 295-355
| 355-415
| 0-2
|
|
|
|
|
|
| 2-4
|
|
|
|
|
|
| 4-6
|
|
|
|
|
|
| 6-8
|
|
|
|
|
|
| 8-10
|
|
|
|
|
|
|
9. Распределение 50 однотипных предприятий, Х – себестои-мость выпуска единицы продукции (тыс. руб.), Y – основные фонды (млн руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 1,25
| 1,5
| 1,75
| 2,0
| 2,25
| 80-130
|
|
|
|
|
| 130-280
|
|
|
|
|
| 180-230
|
|
|
|
|
| 230-280
|
|
|
|
|
| 280-330
|
|
|
|
|
|
10. Распределение 200 драгоценных изделий, Х – стоимость изделия (тыс. руб.), Y – количество примесей (%), тыс. руб.
Y
| X
| 3-9
| 9-15
| 15-21
| 21-27
| 27-33
| Более 33
| 20-30
|
|
|
|
|
|
| 30-40
|
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
|
|
| 60-70
|
|
|
|
|
|
| 70-80
|
|
|
|
|
|
| 80-90
|
|
|
|
|
|
|
11. Распределение 140 предприятий, Х – производственные затраты (млн руб.), Y – степень компьютеризации производства (%), млн руб.
Y
| X
| 2,0-2,5
| 2,5-3,0
| 3,0-3,5
| 3,5-4,0
| 4,0-4,5
| 4,5-5,0
| 10-20
|
|
|
|
|
|
| 20-30
|
|
|
|
|
|
| 30-40
|
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
|
|
| 60-70
|
|
|
|
|
|
|
12. Распределение 100 модернизированных приборов, Х – степень модернизации (%), Y – количество сбоев за месяц работы (шт), %.
Y
| X
| 2,5-4
| 4-5,5
| 5,5-7
| 7-8,5
| 8,5-10
| 10,5-11
| 11,5-13
| 2-3
|
|
|
|
|
|
|
| 3-4
|
|
|
|
|
|
|
| 4-5
|
|
|
|
|
|
|
| 5-6
|
|
|
|
|
|
|
| 6-7
|
|
|
|
|
|
|
| 7-8
|
|
|
|
|
|
|
| 8-9
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Распределение 70 предприятий, Х – объем выпуска про-дукции (тыс. шт.), Y – себестоимость единицы изделия (тыс. руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 2,2-2,4
| 2,4-2,6
| 2,6-2,8
| 2,8-3,0
| 3,0-3,2
| 3,2-3,4
| 0,5-1,5
|
|
|
|
|
|
| 1,5-2,5
|
|
|
|
|
|
| 2,5-3,5
|
|
|
|
|
|
| 3,5-4,5
|
|
|
|
|
|
| 4,5-5,5
|
|
|
|
|
|
| 5,5-6,5
|
|
|
|
|
|
| 14. Распределение 100 работников компании, Х – показатели работы (баллы), Y – результаты тестирования (баллы), баллов.
Y
| X
| 5-6
| 6-7
| 7-8
| 8-9
| 9-10
| 9-11
|
|
|
|
|
| 11-13
|
|
|
|
|
| 13-15
|
|
|
|
|
| 15-17
|
|
|
|
|
| 17-19
|
|
|
|
|
| 19-21
|
|
|
|
|
|
15. Распределение 50 компаний, занимающихся грузовыми перевозками, Х – среднемесячный доход (млн руб.), Y – количество машин (ед.), машин.
Y
| X
| 70-75
| 75-80
| 80-85
| 85-90
| 90-95
| 20-30
|
|
|
|
|
| 30-40
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
|
| 60-70
|
|
|
|
|
|
16. Распределение 60 образцов сырья по процентному содержанию минерала Х (%) и процентному содержанию минерала Y (%), %.
Y
| X
| 10-12
| 12-14
| 14-16
| 16-18
| 18-20
| 20-30
|
|
|
|
|
| 30-40
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
| 2
| 60-70
|
|
| 1
| 3
| 3
|
17. Распределение50 компаний, Х – ежемесячные расходы компании на рекламу (тыс. руб.), Y – объем выручки от продаж (млн руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 2,0-2,2
| 2,2-2,4
| 2,4-2,6
| 2,6-2,8
| 2,8-3,0
| 28-32
|
|
|
|
|
| 32-36
|
|
|
|
|
| 36-40
|
|
|
|
|
| 40-44
|
|
|
|
|
| 44-48
|
|
|
|
|
| 48-52
|
|
|
|
|
|
18. Распределение120 служащих, Х – потери рабочего времени (%), Y – сумма начислений на заработную плату, вызванная ростом производительности труда (у.е.), у.е.
Y
| X
| 3-5
| 5-7
| 7-9
| 9-11
| 11-13
| 20-30
|
|
|
|
|
| 30-40
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
|
| 60-70
|
|
|
|
|
| 70-80
|
|
|
|
|
|
19. Распределение 50 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 12,5
| 17,5
| 22,5
| 27,5
| 32,5
| 37,5
| 42,5
| 47,5
| 200-210
|
|
|
|
|
|
|
|
| 210-220
|
|
|
|
|
|
|
|
| 220-230
|
|
|
|
|
|
|
|
| 230-240
|
|
|
|
|
|
|
|
| 240-250
|
|
|
|
|
|
|
|
| 250-260
|
|
|
|
|
|
|
|
| 260-270
|
|
|
|
|
|
|
|
| 270-280
|
|
|
|
|
|
|
|
| 280-290
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Распределение 55 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 30-50
| 50-70
| 70-90
| 90-110
| 110-130
| 130-150
| 50-70
|
|
|
|
|
|
| 70-90
|
|
|
|
|
|
| 90-110
|
|
|
|
|
|
| 110-130
|
|
|
|
|
|
| 130-150
|
|
|
|
|
|
| 150-170
|
|
|
|
|
|
|
21. Распределение 100 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 13,5
| 18,5
| 23,5
| 28,5
| 33,5
| 38,5
| 43,5
| 48,5
| 100-110
|
|
|
|
|
|
|
|
| 110-120
|
|
|
|
|
|
|
|
| 120-130
|
|
|
|
|
|
|
|
| 130-140
|
|
|
|
|
|
|
|
| 140-150
|
|
|
|
|
|
|
|
| 150-160
|
|
|
|
|
|
|
|
| 160-170
|
|
|
|
|
|
|
|
| 170-180
|
|
|
|
|
|
|
|
| 180-190
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. Распределение 100 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 40-60
| 60-80
| 80-100
| 100-120
| 120- 140
| 140 - 160
| 60-80
|
|
|
|
|
|
| 80-100
|
|
|
|
|
|
| 100-120
|
|
|
|
|
|
| 120-140
|
|
|
|
|
|
| 140-160
|
|
|
|
|
|
| 160-180
|
|
|
|
|
|
|
23. Распределение 60 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 12,6
| 17,6
| 22,6
| 27,6
| 32,6
| 37,6
| 42,6
| 47,6
| 52,6
| 202-212
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 212-222
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 222-232
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 232-242
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 242-252
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 252-262
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 262-272
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 272-282
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 282-292
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 292-302
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Распределение 54 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 14,5
| 19,5
| 24,5
| 29,5
| 34,5
| 39,5
| 44,5
| 49,5
| 54,5
| 300-310
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 310-320
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 320-330
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 330-340
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 340-350
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 350-360
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 360-370
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 370-380
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 380-390
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 390-400
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Распределение 65 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 32-52
| 52-72
| 72-92
| 92-112
| 112-132
| 132-152
| 152-172
| 48-68
|
|
|
|
|
|
|
| 68-88
|
|
|
|
|
|
|
| 88-108
|
|
|
|
|
|
|
| 108-128
|
|
|
|
|
|
|
| 128-148
|
|
|
|
|
|
|
| 148-168
|
|
|
|
|
|
|
| 168-188
|
|
|
|
|
|
|
| 188-208
|
|
|
|
|
|
|
|
26. Распределение 60 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 130-150
| 150-170
| 170-190
| 190-210
| 210-230
| 230-250
| 250-270
| 150-170
|
|
|
|
|
|
|
| 170-190
|
|
|
|
|
|
|
| 190-210
|
|
|
|
|
|
|
| 210-230
|
|
|
|
|
|
|
| 230-250
|
|
|
|
|
|
|
| 250-270
|
|
|
|
|
|
|
| 270-290
|
|
|
|
|
|
|
| 290-310
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Распределение 55 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 12,5
| 17,5
| 22,5
| 27,5
| 32,5
| 37,5
| 42,5
| 47,5
| 52,5
| 250-260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 260-270
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 270-280
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 280-290
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 290-300
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 300-310
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 310-320
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 320-330
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 330-340
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 340-350
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. Распределение 65 предприятий, Х – основные фонды (тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.
Y
| X
| 60-80
| 80-100
| 100-120
| 120-140
| 140-160
| 160-180
| 180-200
| 100-120
|
|
|
|
|
|
|
| 120-140
|
|
|
|
|
|
|
| 140-160
|
|
|
|
|
|
|
| 160-180
|
|
|
|
|
|
|
| 180-200
|
|
|
|
|
|
|
| 200-220
|
|
|
|
|
|
|
| 220-240
|
|
|
|
|
|
|
| 240-260
|
|
|
|
|
|
|
| 29. Распределение80 служащих, Х – потери рабочего времени (%), Y – сумма начислений на заработную плату, вызванная ростом производительности труда (у.е.), у.е.
Y
| X
| 2-4
| 4-6
| 6-8
| 8-10
| 10-12
| 12-14
| 30-40
|
|
|
|
|
|
| 40-50
|
|
|
|
|
|
| 50-60
|
|
|
|
|
|
| 60-70
|
|
|
|
|
|
| 70-80
|
|
|
|
|
|
|
30. Распределение 100 фабрик, Х – число изделий, изготавливаемых рабочим за смену (шт), Y – размер заработной платы (тыс. руб.), тыс. руб.
Y
| X
| 54-114
| 114-174
| 174-234
| 234-294
| 294-354
| 354-414
| 1-3
|
|
|
|
|
|
| 3-5
|
|
|
|
|
|
| 5-7
|
|
|
|
|
|
| 7-9
|
|
|
|
|
|
| 9-11
|
|
|
|
|
|
|
9.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 9
1. Как определяется зависимость между признаками: а) функциональная; б) вероятностная; в) корреляционная?
2. В чем заключается задача: а) корреляционного анализа; б) регрессионного анализа?
3. Что называется диаграммой рассеяния или корреляционным полем?
4. В чем состоит разница в понятиях «теоретический коэффициент корреляции» и «выборочный коэффициент корреляции»?
5. Как определяется выборочный коэффициент корреляции?
6. Сформулируйте свойства выборочного коэффициента корреляции.
7. Какой вид имеет уравнение регрессии переменной Y на Х в случае линейной регрессионной модели?
8. Как оценивается теоретическая прямая регрессии переменной Y на Х?
9. Как определяется точечный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при заданном значении независимой переменной Х?
10. Что можно сказать о характере зависимости между случайными величинами Х и Y при: а) r = 0; б) r = 1; в) r = -1?
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|